A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A keret alakját egyértelműen jellemezhetjük a léceknek a vízszintestől mért hajlásszögével. A keretre az 1. ábrán látható erők hatnak. 1. ábra Mivel a folyadékhártyának két szabad felülete van, ezért . Ha az egész keretre írjuk fel a külső erők és forgatónyomatékok egyensúlyát, azonosságot kapunk. Az , és közti összefüggést csak akkor tudjuk meghatározni, ha kihasználjuk, hogy a keret egyes darabjai külön-külön is egyensúlyban vannak. Írjuk fel pl. az szakasz egyensúlyának feltételét! A rúd végpontjában a csuklók a 2. ábrán látható erőkkel nyomják a rudat. 2. ábra Szimmetriaokokból a pontban csak függőleges erő hat. Kapjuk tehát, hogy
A forgatónyomatékot írjuk fel a pontra! | | (3) | Ebben a három egyenletben három ismeretlen erő és az szög szerepel. A hiányzó egyenletet az pontban levő csuklóra ható erők egyensúlya szolgáltatja. 3. ábra A szimmetrikus elrendezés miatt az és rudak reakcióerejének függőleges komponense azonos nagyságú (3. ábra): Az (1)‐(4) egyenletrendszerből -ra a következő egyenletet kapjuk: ahonnan Mivel , azért a négyzetgyököt pozitív előjellel kell vennünk. A feltétel akkor teljesül, ha . Amennyiben ez nem áll fenn, úgy nem jöhet létre egyensúly a fenti erők hatására. A keret egészen -ig deformálódik, ekkor a és csuklók érintkezésénél fellépő vízszintes erők állítják vissza az erőegyensúlyt. Hasonlóan -nál is létrejöhet az és csuklók közt fellépő erők hatására. Ennek feltételét, valamint az egyes egyensúlyi helyzetek stabilitását kényelmesebb az energiaviszonyok tanulmányozásával meghatározni.
Harmat Péter (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. Gimn., II. o.t.) |
II. megoldás. Vizsgáljuk meg a rendszer energiáját az szög függvényében. A keret által határolt terület . Mivel a felületi feszültség egyik definíciója szerint a felületegységre eső energiát jelenti, ezért (figyelembe véve, a folyadékhártya mindkét felszínét) a felületi energia: A súlyú test helyzeti energiája a ponthoz viszonyítva A teljes energia Ha ábrázoljuk -t a függvényében, akkor eseteknek megfelelően 3 különböző jellegű görbét kapunk (4. ábra). 4. ábra Stabil egyensúly ott alakul ki, ahol az energiának minimuma van. Ez mindig teljesül az -os szögnél, valamint esetben -nál is. Ahol az energiának maximuma van, ott a rendszer instabil egyensúlyi helyzete található. A esetben ez sohasem teljesül, a esetben pedig valamilyen szögnél. Ez a szög a differenciálszámítás segítségével határozható meg, mivel értéknél | | Ebből egyszerű átalakításokkal megkaphatjuk az (5) egyenletet.
Határesetben, ha , akkor .
Klebniezki József (Szeged, Ságvári E. Gimn., III. o. t.) |
|
|