A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A golyó a lejtőn forgás nélkül egyenletesen gyorsul és függőleges elmozdulás után sebességgel érkezik a lejtő aljába. Itt a lejtővel és a fallal egyszerre érintkezik, ezekkel bonyolult kölcsönhatásba lép és végül valamilyen irányba kirepül a lejtő és a fal szögletéből. A továbbiakban feltesszük, hogy ez a bonyolult kölcsönhatás lebontható független ütközések sorozatára, vagyis a golyó úgy verődik vissza a falról, mintha a lejtő nem lenne ott, majd az így szerzett sebességgel a lejtőnek ütközik stb. (A feltevés jogosságát ellenőrizhetjük egy olyan számítással, melyben a golyót erős rugókkal összekapcsolt tömegpontoknak tekintjük, és az ütközés lefolyását pontról pontra nyomon követjük.) 1. ábra Határozzuk meg az egyes ütközések jellemző adatait! Ha egy sebességű golyó szöggel érkezik egy visszaverő felülethez (1. ábra) és az ütközési szám , akkor a visszaverődési szöget és az ütközés utáni sebességet a következő jellemzi. A felülettel párhuzamos sebességkomponens változatlan marad: A felületre merőleges komponens -szorosára változik: A fenti egyenletekből látható, hogy A megváltozott sebesség, láthatóan függ -n és -on kívül a beesési szögtől is. 2. ábra A fentiek alapján az ütközés lefolyása a 2. ábrán láthatóhoz hasonló. A golyó felváltva ütközik a fallal és a lejtővel mindaddig, amíg valamelyik ütközés utáni sebesség vízszintessel bezárt szöge és közé nem esik. Ezután a ferde hajítás egyenletei szabják meg a golyó mozgását. Az egyes ütközések közti szakaszok (pl. , ) nem a golyó tényleges elmozdulását, hanem csak a sebesség irányát jelzik. Mindegyik ütközésnél érvényes az (1) összefüggés, tehát valamint a visszaverődés szöge és a következő ütközés beesési szöge közti geometriai feltétel: Ezekből az egyenletekből kezdeti feltétel felhasználásával sorra kiszámíthatók az ütközési szögek. Ha , akkor (2) alapján . Ilyenkor egyszerűbben is megkaphatjuk az ütközések számát és a kirepülés szögét, ha felismerjük az analógiát a síktükrön visszaverődő fénysugár és a feladatban szereplő golyó mozgása között. Tükrözzük a fal síkjára a lejtő síkját, majd a tükörképre az síkot stb. (3. ábra). 3. ábra A tükörképeken az , , , pontok egy egyenesen helyezkednek el. Vezessük be valamely szám egész részének jelölésére az jelet! Az ábráról leolvashatjuk, hogy ha páros szám, akkor a kirepülő golyó a lejtő síkjával páratlan -re pedig szöget zár be. Ha ábrázoljuk a kirepülő golyó sebességének vízszintessel bezárt szögét függvényében, akkor a 4. ábrán látható grafikont kapjuk. 4. ábra Valahányszor egész szám, vagyis akkor a függvénynek töréspontjai vannak, ezekben a pontokban felváltva veszi fel a és az értéket. A kirepülés sebessége mindig megegyezik -vel. Ha , akkor a fenti gondolatmenet nem alkalmazható, hanem (2) és (3)-ból kell számolni az ütközési szögeket. A rugalmas ütközés tárgyalásánál látott kritikus szögek megfelelőit itt is kiszámíthatjuk. A két és a három ütközést elválasztó határesetben a golyó a fallal párhuzamosan függőlegesen felfelé repül ki. Ez annak fele] meg, hogy . Ez viszont esetben teljesül. esetben visszakapjuk a már meghatározott értéket, -re pedig -ot kapunk. Hasonló módon számítható, hogy -nál a golyó háromszor ütközik és a lejtővel párhuzamosan verődik vissza.
Klebniczki József (Szeged, Ságvári E. Gimn., III. o. t. ) |
és Petz Dénes (Bp., Veres Pálné Gimn., III. o. t. ) | Megjegyzések. 1. Miután a golyó elhagyta a szögletet, bizonyos magasságig felrepül. Ez a magasság még esetben sem egyezik meg az indítási magassággal (mint azt több megoldó az energiatételre való hivatkozással állította, mert a golyónak a pálya tetőpontján mozgási energiája is van) (kivéve azt a két speciális esetet, mikor a golyó valamelyik felülettel párhuzamosan verődik vissza). 2. Abszolút rugalmas golyó esetén -nál kisebb hajlásszögeknél egyszer ütközik a lejtővel és ezután ferde hajítás jön létre. -nál pontosan visszacsúszik a lejtőn, -nál nagyobb szögeknél többszöri visszaverődés után repül ismét ki a szögletből. Ha súrlódás is van, vagy nem abszolút rugalmas a golyó, már -nál kevéssel nagyobb szögek esetén is, ,,beragad'' a szögletbe. |