Kezdőlap


Feladat:	891. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gerhardt Tamás , Harmat Péter , Horváthy Péter , Mihály György , Pál Jenő , Petravich Gábor , Sailer Kornél
Füzet:	1970/december, 228 - 229. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgási indukció, Áramvezetőre ható erő, Erőpár, Ohmikus ellenállás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/január: 891. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A mágneses tér és a tekercsek szögsebességének különbsége $ω$ , így feladatunk ekvivalens a következővel: mekkora forgatónyomaték hatására forognak $ω$ szögsebességgel a tekercsek álló mágneses térben?
Tekintsük először egy tekercs mozgását! Ha az időmérés kezdetekor a tekercs síkja párhuzamos a mágneses indukció irányával, akkor $t$ idő múlva a tekercsnek az indukcióra merőleges keresztmetszete $2 a b sin ω t$ , így a tekercsen áthaladó fluxus $ϕ = 2 a b B sin ω t$ . A tekercsben indukált feszültség $U = N \frac{d ϕ}{d t} = N 2 a b ω B cos ω t$ , az ennek hatására létrejövő áram

\begin{matrix} I = \frac{U}{R} = \frac{N}{R} 2 a b ω B cos α t . \end{matrix}

(1)

Az áram hatására a tekercs egyik függőleges oldalára

I b N B = F

erő hat, ennek a tekercs síkjára merőleges komponense

I b N B cos ω t

. A két függőleges oldalra ható erő erőpárt alkot, melynek forgatónyomatéka

M = 2 a I b N B cos ω t

. A tekercs vízszintes oldalaira ható erők forgatónyomatékainak eredője

0

, így (1)-et felhasználva az egy tekercsre ható forgatónyomaték

M_{1} = \frac{4 a^{2} b^{2} N^{2} B^{2} ω}{R} cos^{2} ω t

, időben periodikusan változó. Numerikus adatokkal

M_{1} = 0, 0024 Nm \cdot cos^{2} ω t

.
Két tekercs esetén a második tekercs

90^{\circ}

-kal el van forgatva az előzőhöz képest, így a rá ható forgatónyomaték

\begin{matrix} M'_{1} = \frac{4 a^{2} b^{2} N^{2} B^{2} ω}{R} cos^{2} (ω t - 90^{\circ}) = \frac{4 a^{2} b^{2} N^{2} B^{2} ω}{R} sin^{2} ω t . \end{matrix}

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

alapján a két tekercsre ható eredő forgatónyomaték

M_{2} = \frac{4 a^{2} b^{2} N^{2} B^{2} ω}{R} = 0, 0024 Nm

, időben állandó.

n

tekercs esetén, ha ezek egymáshoz képest egyenlő

π / n

szöggel vannak elforgatva, a tekercsekre ható forgatónyomatékok eredője

\begin{matrix} M_{n} = \frac{4 a^{2} b^{2} N^{2} B^{2} ω}{R} [cos^{2} ω t + cos^{2} (ω t + \frac{π}{n}) + cos^{2} (ω t + \frac{2 π}{n}) + ... + cos^{2} (ω t + \frac{(n - 1) π}{n})] . \end{matrix}

Felhasználva a

cos^{2} α = \frac{1}{2} (1 + cos 2 α)

összefüggést

\begin{matrix} M_{n} = \frac{4 a^{2} b^{2} N^{2} B^{2} ω}{R} [\frac{n}{2} + \frac{1}{2} cos (2 ω t + \frac{2 π}{n}) + \frac{1}{2} cos (2 ω t + \frac{4 π}{n}) + ... + \frac{1}{2} cos (2 ω t + \frac{(n - 1) 2 π}{n})] . \end{matrix}

Itt a cosinusos tagok egy középponti helyzetű szabályos

n

-szög csúcsaiba mutató helyvektorok abszcisszái, így összegük

0

. Tehát

n \geq 2

esetén az eredő forgatónyomaték időben állandó:

\begin{matrix} M_{n} = \frac{n}{2} \cdot \frac{4 a^{2} b^{2} N^{2} B^{2} ω}{R} \end{matrix}

Harmat Péter (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. Gimn., IV. o. t. )