Kezdőlap


Feladat:	889. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Gerhardt Tamás , Harmat Péter , Horváthy Péter , Iglói Ferenc , Kérchy László , Komornik Vilmos , Mihály György , Sailer Kornél , Somorai Tamás , Tóth József
Füzet:	1970/november, 183 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Nyomóerő, kötélerő, Súrlódás, Egyenletesen gyorsuló rendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/január: 889. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg, hogy milyen erők hatnak az egyes testekre (1. ábra).

1. ábra

A kötélen lógó testre hat a súlyerő (

m g

), a kötélerő (

K

), a lejtő hatása:

N

nyomóerő és

S

súrlódási erő, feltételezve, hogy a test fölfelé mozog a lejtőn. Az ékre ható erők: a súlyerő (

M g

), a talaj nyomóereje (

N_{1}

), a csigánál fellépő két kötélerő (

K

) és az

m

tömegű test hatása (

N

és

S

). (Az ábra az áttekinthetőség kedvéért két részből áll.)
A kötélen lógó test gyorsulása legyen

a

, az éké

A

. A harmadik test gyorsulásának sem a nagysága, sem az iránya nem ismert. Jelöljük ezért a gyorsulás vízszintes komponensét

a_{1}

-gyel, függőleges komponensét

a_{2}

-vel. A pozitív irányok az 1. ábrán adottak.
A három testre öt mozgásegyenletet írhatunk fel:

\begin{matrix} m a = m g - K, & (1) \\ M A = K - \frac{K}{\sqrt[]{2}} + \frac{S}{\sqrt[]{2}} + \frac{N}{\sqrt[]{2}}, & (2) \\ 0 = M g - N_{1} + \frac{N}{\sqrt[]{2}} - \frac{S}{\sqrt[]{2}} + \frac{K}{\sqrt[]{2}}, & (3) \\ m a_{1} = \frac{K}{\sqrt[]{2}} - \frac{N}{\sqrt[]{2}} - \frac{S}{\sqrt[]{2}}, & (4) \\ m a_{2} = - m g - \frac{S}{\sqrt[]{2}} + \frac{K}{\sqrt[]{2}} + \frac{N}{\sqrt[]{2}} . & (5) \end{matrix}

(Az egyszerűség kedvéért

sin 45^{\circ}

és

cos 45^{\circ}

helyett

1 / \sqrt[]{2}

-t írtunk.)
A gyorsulások azonban nem függetlenek egymástól: a közöttük levő összefüggések kifejezik, hogy a kötél nyújthatatlan és az egyik

m

tömegű test végig a lejtő lapján marad. A 2. ábrán lerajzoltuk a testeket az indulás pillanatában és

t

idővel később.

2. ábra

A testek elmozdulásait az ábra szerint

x

s

x_{1}

és

x_{2}

-vel jelöljük. A kötél hossza változatlan

\begin{matrix} x = s + x_{2} \sqrt[]{2}, \end{matrix}

(6)

a test az ék felületén marad:

\begin{matrix} x_{1} - s = x_{2} . \end{matrix}

(7)

\begin{matrix} x = (1 / 2) a t^{2}, s = (1 / 2) A t^{2}, x_{1} = (1 / 2) a_{1} t^{2}, x_{2} = (1 / 2) a_{2} t^{2} \end{matrix}

(8)

összefüggéseket behelyettesítve megkapjuk a kényszeregyenleteket:

\begin{matrix} a = A + a_{2} \sqrt[]{2}, & (9) \\ a_{1} - A = a_{2} . & (10) \end{matrix}

Amennyiben a test valóban felfelé mozog a lejtőn, a súrlódási erő

\begin{matrix} S = μ N . \end{matrix}

(11)

Az (1), (2), (3), (4), (5), (9), (10) és (11) egyenletekből álló egyenletrendszer nyolc ismeretlent tartalmaz, megoldható. Az egyetlen gyök, amire szükségünk van

\begin{matrix} A = g \frac{3 + μ (1 + \sqrt[]{2})}{5 - 2 \sqrt[]{2} + 4 M / m + μ (1 + \sqrt[]{2})} . \end{matrix}

(12)

Az egyenletrendszer megoldásának utolsó előtti lépését még fel fogjuk használni:

\begin{matrix} A (2 - \sqrt[]{2} + \sqrt[]{2} μ - 4 a = g (- 2 + \sqrt[]{2} + \sqrt[]{2} μ) . \end{matrix}

(13)

Kérdéses azonban, hogy feltételezéseink valóban teljesülnek-e. A mozgás a tömegektől és a súrlódási együtthatóktól függően háromféleképpen történhet: a lejtőn levő test felfelé mozog (ebben az esetben oldottuk meg a feladatot); a test lefelé mozog; a lejtővel összetapad.
Vizsgáljuk meg a három esetet elválasztó határokat. Az, hogy a test az éken lefelé vagy felfelé mozog, a súrlódástól független. Nagy súrlódási együttható esetén a súrlódás legfeljebb megállítja a relatív mozgást, de ellenkező irányút nem hozhat létre. Így ebből a szempontból

μ = 0

-nál vizsgáljuk a mozgást. A határeset (a két test együtt mozog) az

A = a

összefüggéssel jellemezhető. Ezt és

μ = 0

-t a (12) és (13) összefüggésekbe helyettesítve megkaphatjuk a határeset feltételét:

M / m = 1 + 2 \sqrt[]{2} = 3, 83

. Ha tehát

M / m > 3, 83

, a test felfelé mozoghat az éken, ha

M / m < 3, 83

, lefelé.
Az

M / m > 3, 83

esetben érvényes a (12) és (13) összefüggés. Ha

μ

elég nagy (nevezzük a határesetben

μ_{1}

-nek), a relatív mozgás megszűnik, a (11) egyenlet érvényét veszti, helyére az

A = a

egyenlőség kerül. Határesetben, ha

μ = μ_{1}

, még érvényes a (12) és (13) egyenlet, de már az

A = a

is teljesül. Innen megkaphatjuk

μ_{1}

értékét:

\begin{matrix} μ_{1} = \sqrt[]{2} - 1 - \frac{2}{1 + M / m} . \end{matrix}

(14)

Hasonlóan járhatunk el az

M / m > 3, 83

esetben. Nevezzük el a kritikus súrlódási együtthatót

μ_{2}

-nek. A (12) és (13) egyenletekbe

μ

helyett írjunk mindenütt

- μ

-t, hiszen a súrlódási erő előjelet vált. A kritikus súrlódási együtthatóra

\begin{matrix} μ_{2} = - \sqrt[]{2} + 1 + \frac{2}{1 + M / m} \end{matrix}

(15)

adódik. Az ék gyorsulása ebben az esetben (12) alapján

\begin{matrix} A = g \frac{3 - μ (1 + \sqrt[]{2})}{5 - 2 \sqrt[]{2} + 4 M / m - μ (1 + \sqrt[]{2})} . \end{matrix}

(16)

Amennyiben az ék és a rajta levő test összetapad, azokat egyetlen merev testnek tekinthetjük, vagyis az ék gyorsulása

\begin{matrix} A = g \frac{m}{M + 2 m} . \end{matrix}

(17)

Összefoglalva megoldásunkat, tetszőleges számadatok esetén
ha

M / m \geq 3, 83

és

μ \leq μ_{1}

, akkor a (12),
ha

M / m \geq 3, 83

és

μ \geq μ_{1}

, akkor a (17),
ha

M / m \leq 3, 83

és

μ \leq μ_{2}

, akkor a (16),
ha

M / m \leq 3, 83

és

μ \geq μ_{2}

, akkor a (17) képletből kell

A

értékét kiszámítani.
Számadatainkkal

M / m = 10 > 3, 83

, (14) alapján

μ_{1} = 0, 23

. Így ha

μ = 0, 1 < μ_{1}

, a (12) képletből

A = 0, 076 g

,
ha

μ = 0, 4 > μ_{1}

, a (17) képletből

A = 0, 083 g

Komornik Vilmos (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t. )

Sailer Kornél (Ózd, József A. Gimn., IV. o. t. )

dolgozata alapján