|
Feladat: |
889. fizika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Gerhardt Tamás , Harmat Péter , Horváthy Péter , Iglói Ferenc , Kérchy László , Komornik Vilmos , Mihály György , Sailer Kornél , Somorai Tamás , Tóth József |
Füzet: |
1970/november,
183 - 185. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Pontrendszerek mozgásegyenletei, Nyomóerő, kötélerő, Súrlódás, Egyenletesen gyorsuló rendszerek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1970/január: 889. fizika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Vizsgáljuk meg, hogy milyen erők hatnak az egyes testekre (1. ábra). 1. ábra A kötélen lógó testre hat a súlyerő (), a kötélerő (), a lejtő hatása: nyomóerő és súrlódási erő, feltételezve, hogy a test fölfelé mozog a lejtőn. Az ékre ható erők: a súlyerő (), a talaj nyomóereje (), a csigánál fellépő két kötélerő () és az tömegű test hatása ( és ). (Az ábra az áttekinthetőség kedvéért két részből áll.) A kötélen lógó test gyorsulása legyen , az éké . A harmadik test gyorsulásának sem a nagysága, sem az iránya nem ismert. Jelöljük ezért a gyorsulás vízszintes komponensét -gyel, függőleges komponensét -vel. A pozitív irányok az 1. ábrán adottak. A három testre öt mozgásegyenletet írhatunk fel:
(Az egyszerűség kedvéért és helyett -t írtunk.) A gyorsulások azonban nem függetlenek egymástól: a közöttük levő összefüggések kifejezik, hogy a kötél nyújthatatlan és az egyik tömegű test végig a lejtő lapján marad. A 2. ábrán lerajzoltuk a testeket az indulás pillanatában és idővel később. 2. ábra A testek elmozdulásait az ábra szerint , , és -vel jelöljük. A kötél hossza változatlan a test az ék felületén marad: Az | | (8) | összefüggéseket behelyettesítve megkapjuk a kényszeregyenleteket:
Amennyiben a test valóban felfelé mozog a lejtőn, a súrlódási erő Az (1), (2), (3), (4), (5), (9), (10) és (11) egyenletekből álló egyenletrendszer nyolc ismeretlent tartalmaz, megoldható. Az egyetlen gyök, amire szükségünk van | | (12) | Az egyenletrendszer megoldásának utolsó előtti lépését még fel fogjuk használni: | | (13) |
Kérdéses azonban, hogy feltételezéseink valóban teljesülnek-e. A mozgás a tömegektől és a súrlódási együtthatóktól függően háromféleképpen történhet: a lejtőn levő test felfelé mozog (ebben az esetben oldottuk meg a feladatot); a test lefelé mozog; a lejtővel összetapad. Vizsgáljuk meg a három esetet elválasztó határokat. Az, hogy a test az éken lefelé vagy felfelé mozog, a súrlódástól független. Nagy súrlódási együttható esetén a súrlódás legfeljebb megállítja a relatív mozgást, de ellenkező irányút nem hozhat létre. Így ebből a szempontból -nál vizsgáljuk a mozgást. A határeset (a két test együtt mozog) az összefüggéssel jellemezhető. Ezt és -t a (12) és (13) összefüggésekbe helyettesítve megkaphatjuk a határeset feltételét: . Ha tehát , a test felfelé mozoghat az éken, ha , lefelé. Az esetben érvényes a (12) és (13) összefüggés. Ha elég nagy (nevezzük a határesetben -nek), a relatív mozgás megszűnik, a (11) egyenlet érvényét veszti, helyére az egyenlőség kerül. Határesetben, ha , még érvényes a (12) és (13) egyenlet, de már az is teljesül. Innen megkaphatjuk értékét: Hasonlóan járhatunk el az esetben. Nevezzük el a kritikus súrlódási együtthatót -nek. A (12) és (13) egyenletekbe helyett írjunk mindenütt -t, hiszen a súrlódási erő előjelet vált. A kritikus súrlódási együtthatóra adódik. Az ék gyorsulása ebben az esetben (12) alapján | | (16) |
Amennyiben az ék és a rajta levő test összetapad, azokat egyetlen merev testnek tekinthetjük, vagyis az ék gyorsulása Összefoglalva megoldásunkat, tetszőleges számadatok esetén ha és , akkor a (12), ha és , akkor a (17), ha és , akkor a (16), ha és , akkor a (17) képletből kell értékét kiszámítani. Számadatainkkal , (14) alapján . Így ha , a (12) képletből , ha , a (17) képletből .
Komornik Vilmos (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t. ) |
Sailer Kornél (Ózd, József A. Gimn., IV. o. t. ) |
|
|