Feladat:	885. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sebestyén Péter
Füzet:	1970/november, 178 - 180. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Párhuzamos erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1970/január: 885. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A gerenda egyensúlyának feltétele: a rá ható erők eredője zérus: $\begin{array}{c}{\displaystyle F=F_1+F_2+F_3-G=0;}\end{array}$ bármely pontjára vett forgatónyomatékok összege zérus. Írjuk fel a forgatónyomatékok egyenletét a súlypontra $\begin{array}{c}{\displaystyle k_1{F}_1+k_2{F}_2-k_3{F}_3=0.}\end{array}$ Ennél több egyenlet nem írható fel a három ismeretlenre, de a végtelen sok gyök közül nekünk csak a természetes szám gyökök felelnek meg, ilyen megoldása az egyenletrendszernek csak véges sok létezik, mint azt az alábbiakban megmutatjuk. Fejezzük ki ui. pl. az $F_3$-at az első egyenletből, és helyettesítsük be a másodikba ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle F_3=G-F_1-F_2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle k_1{F}_1+k_2{F}_2=k_3\left(G-F_1-F_2\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle F_1\left(k_1+k_3\right)+F_2\left(k_2+k_3\right)=k_{3}G\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Helyettesítsük be az ismert adatokat, és írjuk fel $F_2$-t $F_1$ függvényeként: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle F_1\cdot 7+F_2\cdot 5=4\cdot G=4\cdot 48\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle F_2=\frac{192-7F_1}{5}=\frac{190-5F_1}{5}+\frac{2-2F_1}{5}=\left(38-F_1\right)+2\frac{1-F_1}{5}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Keressük azokat az $F_1$ nem negatív egész számokat, amelyeknél $F_2$ is nem negatív egész. A zárójeles tag mindig egész szám, tehát $F_2$ akkor és csak akkor egész, ha a $2\frac{1-F_1}{5}$ egész szám. Ez akkor teljesül, ha az $F_1$ nem negatív egész szám $5k+1$ alakú. Mivel $F_1\ge 0$, azért $k$ lehetséges értékei: $k=0$, $1$, $2$, $3$, $\text{...}{F}_2$-nek is nem negatívnak kell lennie: $\begin{array}{c}{\displaystyle 0\le \left(38-F_1\right)+2\frac{1-F_1}{5}=\left(38-1-5k\right)+2\frac{1-1-5k}{5}=37-7k\mathrm{,}}\end{array}$ Ebből $k\le 5$. Ennek megfelelően a következő megoldásokat kapjuk: ${\displaystyle \begin{array}{ccccccc}\hfill {\displaystyle k=0}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle F_1=1\text{kp}}\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle F_2=37\text{kp}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle F_3=10\text{kp}}\\ \hfill {\displaystyle k=1}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 6\text{kp}}\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 30\text{kp}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 12\text{kp}}\\ \hfill {\displaystyle k=2}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 11\text{kp}}\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 23\text{kp}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 14\text{kp}}\\ \hfill {\displaystyle k=3}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 16\text{kp}}\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 16\text{kp}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 16\text{kp}}\\ \hfill {\displaystyle k=4}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 21\text{kp}}\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 9\text{kp}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 18\text{kp}}\\ \hfill {\displaystyle k=5}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 26\text{kp}}\hfill & \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 2\text{kp}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 20\text{kp}}\end{array}}$ A többi $G$ érték esetén kétféle módon járhatunk el. Az egyik lehetőség az, hogy újra felírjuk az egyenletrendszert, az új $G$ értékére és megkeressük a megfelelő megoldásokat. A másik lehetőség azon alapszik, hogy a következő $G$ érték éppen fele az előzőnek. Tehát ki kell választani az előző $G$ esetén adódó megoldások közül azokat a számhármasokat, amelyeknek minden tagja páros, és osztani kell őket $2$-vel. Bármelyik megoldást választva a következő eredményeket kapjuk: $G=24$ kp esetén ${\displaystyle \begin{array}{cccccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle F_1\text{(kp)}}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle F_2\text{(kp)}}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle F_3\text{(kp)}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 3}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 15}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 6}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 8}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 8}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 8}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle 13}\hfill & {\displaystyle }\hfill & \hfill {\displaystyle 1}& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle 10}\hfill \end{array}}$ $G=12$ kp esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1=4\text{kp}{F}_2=4\text{kp}{F}_3=4\text{kp}\mathrm{,}}\end{array}$ $G=6$ kp esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1=F_2=F_3=2\text{kp}\mathrm{,}}\end{array}$ $G=3$ kp esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle F_1=F_2=F_3=1\text{kp}\mathrm{.}}\end{array}$ Sebestyén Péter (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t. )