Kezdőlap


Feladat:	881. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dombi Gábor , Harmat Péter , Hrabovszky Róbert , Iglói Ferenc , Kérchy László , Terlaky Edit
Füzet:	1970/november, 175 - 177. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kirchhoff-törvények, Egyéb Ohm-törvény, Áram hőhatása (Joule-hő), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/december: 881. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A telepet úgy állítjuk össze, hogy $s$ db elemet sorosan kötünk, majd $p$ db ilyen sort párhuzamosan. A sorokban egyenlő számú elemnek kell lennie, különben terheletlen állapotban is belső áramok folynának a telepben, így a telep nem lehetne optimális teljesítményű.
Írjuk fel Ohm törvényét:

\begin{matrix} s \cdot 1, 5 V = I \cdot (16 Ω + \frac{s \cdot 2 Ω}{p}), \end{matrix}

ugyanis a telep eredő feszültsége

s \cdot 1, 5 V

, belső ellenállása pedig egy sor ellenállásának, tehát

s \cdot 2 Ω

-nak

p

-ed része.

I

a fogyasztó adataiból kiszámítható:

\begin{matrix} P = I^{2} \cdot R, I^{2} = P / R = 9 / 16, I = 3 / 4 A . \end{matrix}

Egyenletünk tehát a következő:

\begin{matrix} 1, 5 s = (3 / 4) (16 + \frac{s}{p} \cdot 2) = 12 + \frac{s}{p} \cdot 1, 5, \end{matrix}

rendezve:

\begin{matrix} 1, 5 s - 12 = \frac{1, 5 s}{p}, p = \frac{1, 5 s}{1, 5 s - 12} = \frac{s}{s - 8} . \end{matrix}

Az a célunk, hogy a telepek száma

\begin{matrix} p s = \frac{s^{2}}{s - 8} = f (s), \end{matrix}

legkisebb legyen.
Ennek a függvénynek ott lehet szélső értéke, ahol differenciálhányadosa

0

, tehát

\begin{matrix} f' (s) = \frac{2 s (s - 8) - s^{2}}{{(s - 8)}^{2}} = 0. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} s^{2} - 16 s = 0; s_{1} = 0, s_{2} = 16. \end{matrix}

f' (s)

előjelét vizsgálva könnyen meggyőződhetünk arról, hogy

s = 16

minimum hely, így

p = 2

.
Tehát 16 db telepet kell sorosan kötni, és két ilyen sort párhuzamosan.

Terlaky Edit (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., IV. o. t. )

Megjegyzés. Megoldható a feladat differenciálás nélkül is, mivel az egyenletnek csak pozitív egész megoldását keressük és (1) alapján

s > 8

p > 1

; továbbá

s \leq 16

p

legalább

2

kell, hogy legyen. Olyan

s

érték, melyre

8 < s \leq 16

és

p

egész, összesen

4

db van, innen könnyű kiválasztani a

p = 2

s = 16

értékeket.

Hrabovszky Róbert (Békéscsaba, Rózsa F. Gimn., IV. o. t. )

II. megoldás. A fogyasztó előírt árama

I^{2} = P / R = {(3 / 4 A)}^{2}

. Tudjuk, hogy egy telep akkor ad maximális teljesítményt, ha

R_{b} = R_{k}

, ekkor a telepen

\begin{matrix} I' = \frac{U_{e}}{R_{k} + R_{b}} = \frac{U_{e}}{2 R_{b}} \end{matrix}

áram folyik.
Ez esetünkben:

I' = 1, 5 / 4 A = 3 / 8 A

.
Ha a legkevesebb teleppel akarunk dolgozni, a telepeken épp ennyi áramnak kell átfolynia, azaz maximális teljesítményt kell adniuk.
Így mindig

2

telepnek kell párhuzamosan kapcsolva lennie (vagy

2

telep-sornak), mivel

3 / 4 A

szükséges a fogyasztóra. Másrészt

R_{b} = R_{k}

miatt

U_{b} = U_{k}

, tehát minden telep az elektromotoros erő felét adja kapocsfeszültségként. Így, mivel a fogyasztó

(3 / 4) \cdot 16 V = 12 V

feszültséget igényel, legalább

12 / 0, 75 = 16

db telepet kell sorosan kötni, bármilyen párhuzamos kombinációt is alkalmazunk hozzá. A legkevesebb telep tehát

2

16

-os telepsorral valósítható meg.

(Több megoldás alapján)

Megjegyzés. Ennél kevesebb telep semmiképp nem lehet elég, mert az

R_{b} = R_{k}

feltételből egy telep teljesítménye legfeljebb

P = \frac{U_{k} \cdot U_{e}}{2 R_{b}} = \frac{U_{e}^{2}}{4 R_{b}} = \frac{9}{32}

watt lehet. Így

9

W-hoz legalább

32

telep szükséges.