Kezdőlap


Feladat:	879. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Batta Gyula , Demjén József , Gál Péter , Iglói Ferenc , Keresztes Tibor , Klebniczki József , Németh János , Rédei Miklós , Somogyi Gábor , Váradi János
Füzet:	1970/november, 172 - 174. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Nyomóerő, kötélerő, Csúszó súrlódás, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/december: 879. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először tegyük fel, hogy a súrlódási együttható elég kicsi ahhoz, hogy az ék lecsússzon a lejtőn és az $m$ tömegű test elmozduljon az ékhez képest.
Az ék gyorsulása párhuzamos a lejtővel, jelöljük ezt $A$ -val, a másik test gyorsulása ismeretlen nagyságú és irányú vezessük be a gyorsulás $a_{1}$ és $a_{2}$ komponensét az ábra szerint.

1. ábra

Az első ábrán felrajzoltuk az

m

tömegű testre ható összes erőt: a testet vonzza a Föld

(m g)

és kapcsolatban (kölcsönhatásban) áll az ékkel (nyomóerő

N

és súrlódási erő

S

2. ábra

A második ábrára az ékre ható összes erőt rajzoltuk be: a súlyerő

(M g)

, a felső test hatása (az előző

N

és

S

ellenereje) és a lejtővel való kölcsönhatás erői

(N_{1}

S_{1})

.
A mozgásegyenletek rendre (a felső testre ható erők vízszintes és függőleges vetületeire, az ékre a lejtővel párhuzamos, majd merőleges irányban)

sin 45^{\circ} = cos 45^{\circ} = 1 / \sqrt[]{2}

alapján:

\begin{matrix} m a_{1} = S, & (1) \\ m a_{2} = m g - N, & (2) \\ M A = \frac{M g}{\sqrt[]{2}} - S_{1} + \frac{N}{\sqrt[]{2}} - \frac{S}{\sqrt[]{2}}, & (3) \\ 0 = \frac{M g}{\sqrt[]{2}} - N_{1} + \frac{N}{\sqrt[]{2}} + \frac{S}{\sqrt[]{2}} . & (4) \end{matrix}

a_{2}

és

A

gyorsulások nem függetlenek egymástól:

\begin{matrix} a_{2} = \frac{A}{\sqrt[]{2}} \end{matrix}

(5)

Kezdeti feltevésünk értelmében

\begin{matrix} S & = μ N, & (6) \\ S_{1} & = μ N_{1} . & (7) \end{matrix}

Ebben a hét egyenletből álló egyenletrendszerben

a_{1}

a_{2}

A

N

N_{1}

S

S_{1}

ismeretlen, a megoldás

\begin{matrix} a_{1} = \frac{μ M g (1 + μ)}{2 M + m (1 - 2 μ - μ^{2})}, & (8) \\ a_{2} = \frac{M (1 - μ) + m (1 - 2 μ - μ^{2})}{2 M + m (1 - 2 μ - μ^{2})} \cdot g, & (9) \\ A = a_{2} \cdot \sqrt[]{2} . & (10) \end{matrix}

Ezek a képletek természetesen csak akkor érvényesek, ha kezdeti feltevésünk, vagyis hogy

μ

elég kicsi, teljesül. Keressük meg a legnagyobb súrlódási együtthatót

(μ_{1})

, amelyik még ,,elég kicsi'', majd vizsgáljuk meg az ennél nagyobb

μ

esetében lezajló mozgást

μ_{1}

értékénél a (8), (9), (10) megoldások még éppen érvényben maradnak, de a két test már összetapadva csúszik le a lejtőn:

\begin{matrix} a_{1} = a_{2} . \end{matrix}

(11)

Behelyettesítve:

\begin{matrix} \frac{μ_{1} M g (1 + μ_{1})}{2 M + m (1 - 2 μ_{1} - μ_{1}^{2})} = \frac{M (1 - μ_{1}) + m (1 - 2 μ_{1} - μ_{1}^{2})}{2 M + m (1 - 2 μ_{1} - μ_{1}^{2})} g . \end{matrix}

Ez az egyenlet

μ_{1}

-re másodfokú, a pozitív gyök

\begin{matrix} μ_{1} = \sqrt[]{2} - 1. \end{matrix}

(Látjuk, hogy a

\begin{matrix} 2 M + m (1 - 2 μ_{1} - μ_{1}^{2}) \end{matrix}

nevező sohasem nulla, amíg

μ ≦ μ_{1}

teljesül.)
Ha

μ > μ_{1}

, a két test összetapadva csúszik lefelé, a mozgást az (1), (2), (3), (4), (5), (7) és (11) egyenletek írják le. A gyorsulásra természetesen

\begin{matrix} A = g (\frac{1}{\sqrt[]{2}} - μ \frac{1}{\sqrt[]{2}}) \end{matrix}

(12)

összefüggés adódik, azonban ez csak a

μ_{1} \leq μ \leq μ_{2} = 1

esetben érvényes. Ennél nagyobb súrlódási együttható esetében a testek maguktól nem jönnek mozgásba.
Összefoglalva eredményeinket, ha

μ \leq \sqrt[]{2} - 1

, a (8), (9), (10) képletek, ha

\sqrt[]{2} - 1 \leq μ \leq 1

, akkor a (10), (11), (12) képletek adják a gyorsulásokat, ha

μ \geq 1

akkor a gyorsulások nullák.

(Több dolgozat alapján)