Kezdőlap


Feladat:	875. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörgő László , Hadik Róbert , Hegyi György , Magyar László
Füzet:	1970/október, 93 - 95. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellenállások kapcsolása, Egyéb Ohm-törvény, Áram hőhatása (Joule-hő), Kirchhoff-törvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/november: 875. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az $A B C D$ ágban (1. ábra) és az $A F E D$ ágban levő ellenállások aránya egymással megegyezik: $3 : 8 : 7 = 24 : 64 : 56$ .

1. ábra

Ezért

B

és

F

, valamint

C

és

E

ekvipotenciális pontok, a köztük levő ellenállások elhagyhatók. Így a párhuzamos ágak eredő ellenállása:

\begin{matrix} R = \frac{(R_{1} + R_{4} + R_{7}) (R_{2} + R_{5} + R_{8})}{R_{1} + R_{2} + R_{4} + R_{5} + R_{7} + R_{8}} = 16 ohm. \end{matrix}

Az ellenállások által felvett teljesítmény:

\begin{matrix} P = \frac{U^{2}}{R} = \frac{24^{2} W}{16} = 36 W. \end{matrix}

Hegyi György Kalocsa, I. István Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. Ha nem vesszük észre az ellenállások arányának egyenlőségét, általános esetben is használható megoldásként az

R_{1} R_{2} R_{3}

és

R_{6} R_{7} R_{8}

ellenállásháromszöget vele egyenértékű csillagkapcsolássá alakítjuk (2. ábra):

2. ábra

\begin{matrix} r_{1} = \frac{R_{2} R_{3}}{R_{1} + R_{2} + R_{3}} = 10, 5 ohm,r_{6}=3,5 ohm. \end{matrix}

Ugyanígy

\begin{matrix} r_{2} = \frac{21}{16} ohm,r_{7}=24,5 ohm,r_{3}=1,5 ohm,r_{8}=\frac{49}{16} ohm. \end{matrix}

A párhuzamosan kötött ellenállások eredője:

\begin{matrix} R_{p} = \frac{1}{\frac{1}{r_{8} + r_{2} + R_{7}} + \frac{1}{r_{7} + r_{1} + R_{5}}} = 11 ohm. \end{matrix}

Az eredő ellenállás

\begin{matrix} R = r_{6} + R_{8} + r_{3} = 16 ohm, \end{matrix}

s az előbbihez hasonlóan

P = 36 W

Magyar László (Kecskemét, Katona J. Gimn., III. o. t.)

III. megoldás. Az áramkörök módszerével (3. ábra):

3. ábra

\begin{matrix} U = R_{8} (I - I_{3}) + R_{5} (I - I_{2}) + R_{2} (I - I_{1}), \\ 0 = R_{2} (I_{1} - I) + R_{3} (I_{1} - I_{2}) + R_{1} I_{1}, \\ 0 = R_{5} (I_{2} - I) + R_{6} (I_{2} - I_{3}) + R_{4} I_{2} + R_{3} (I_{2} - I_{1}), \\ 0 = R_{7} I_{3} + R_{6} (I_{3} - I_{2}) + R_{8} (I_{3} - I) . \end{matrix}

Az adatokat beírva és

I

indexei szerint rendezve:

\begin{matrix} \begin{matrix} 144 I & - 24 I_{1} & - 64 I_{2} & - 56 I_{3} & = 24, \\ 24 I & - 48 I_{1} & + 21 I_{2} & = 0, \\ 64 I & + 21 I_{1} & - 142 I_{2} & + 49 I_{3} & = 0, \\ 56 I & + 49 I_{2} & - 112 I_{3} & = 0. \end{matrix} \end{matrix}

Ebből az egyenletrendszerből:

I = 1, 5 A

, a teljesítmény:

P = U I = 24 V\cdot1,5 A=

= 36 W.

Hadik Róbert (Makó, József A. Gimn., IV. o. t.)