Kezdőlap


Feladat:	871. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Klebniczki József
Füzet:	1970/szeptember, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hooke-törvény, Centrifugális erő, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/november: 871. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Osszuk fel a rudat $n$ darab $Δ l$ hosszúságú részre, melyek tömege egyaránt $Δ m = ϱ A Δ l$ .
Vizsgáljuk meg a forgástengelytől számított $k$ -adik darab megnyúlását:

\begin{matrix} δ l_{k} = \frac{Δ l \cdot F_{k}}{E A}, \end{matrix}

ahol

F_{k}

annak a centripetális erőnek az ellenereje, amely a rúdnak a

k

-adik darabon túli többi részét a körpályán való mozgásra kényszeríti. Ennek nagysága egyenlő a

k

-adik darabon túli részekre ható centripetális erők összegével:

\begin{matrix} F_{k} = \sum_{f = k}^{n - 1} Δ m \cdot (j + \frac{1}{2}) Δ l \cdot ω^{2} = Δ m \cdot Δ l \cdot ω^{2} \sum_{f = k}^{n - 1} (j + \frac{1}{2}) = \\ = Δ m \cdot Δ l \cdot ω^{2} \frac{(n - k) (n + k)}{2} = Δ m \cdot Δ l \cdot ω^{2} \cdot \frac{1}{2} (n^{2} - k^{2}) . \end{matrix}

A teljes megnyúlás ezen elemi megnyúlások összegeként adódik:

\begin{matrix} Δ L \approx \frac{ϱ ω^{2}}{E} {(Δ l)}^{3} \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} (n^{2} - k^{2}) . \end{matrix}

Mivel

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6}, \end{matrix}

ezért az összegzés egyszerűen elvégezhető:

\begin{matrix} Δ L \approx \frac{ϱ ω^{2}}{E} {(Δ l)}^{3} \frac{4 n^{3} - 3 n^{2} - n}{12} . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

Δ l = L / n

, kapjuk:

\begin{matrix} Δ L \approx \frac{ϱ ω^{2}}{E} \cdot \frac{L^{3}}{n^{3}} \frac{4 n^{3} - 3 n^{2} - n}{12} = \frac{ϱ ω^{2}}{E} L^{3} \frac{4 - 3 / n - 1 / n^{2}}{12} . \end{matrix}

n

tart végtelenhez, akkor

3 / n

és

1 / n^{2}

tart

0

-hoz, tehát a jobb oldal határértékeként a teljes megnyúlásra nyerjük

\begin{matrix} Δ L = \frac{ϱ ω^{2}}{3 E} L^{3} . \end{matrix}

Klebniczki József (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o. t.)