Kezdőlap


Feladat:	868. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ráskai Ferenc
Füzet:	1970/május, 236 - 237. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Összetartó erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/november: 868. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Határozzuk meg először a kérdéses erők irányát! Bármelyik rudat nézzük, a rá ható erők és egy tetszőleges pont körüli forgatónyomatékok eredője csak akkor lehet $0$ , ha a rúdra a végpontjain ható mindkét erő rúdirányú. Ezért ‐ a jelen esetben ‐ valamennyi rúderő rúdirányú lesz. (Nem lenne ez így, ha a rudak súlyát nem hanyagolnánk el.) Tudjuk továbbá, hogy a kötélerő kötélirányú.

Írjuk fel az egyensúly feltételét a tetraéder egyik csúcsára!

\begin{matrix} \vec{G} + \vec{K} + {\vec{R}}_{1} + {\vec{R}}_{2} = 0, \end{matrix}

K

az az erő, amellyel a kötél hat a csúcspontra,

R_{1}

R_{2}

az az erő, amellyel a két rúd hat a csúcspontra.
E négy vektor összege akkor és csak akkor

0

, ha tetszőlegesen választott térbeli koordináta-rendszerben mindhárom komponensük összege külön-külön

0

. (Az egyetlen vektoregyenlet tehát

3

skaláregyenletet jelent.)
Az ábra szerinti koordináta-rendszert fölvéve és a megfelelő komponenseket hasonló háromszögekkel számítva az alábbi egyenletrendszert kapjuk:

x

komponensekre

R_{1} \frac{1}{2} - R_{2} \frac{1}{2} = 0

y

komponensekre

K \frac{1}{\sqrt[]{3}} - R_{1} \frac{\sqrt[]{3}}{2} - R_{2} \frac{\sqrt[]{3}}{2} = 0

z

komponensekre

K \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{3}} - G = 0

.

Megoldva:

\begin{matrix} K & = G \sqrt[]{\frac{3}{2}} = 73, 5 kp . \\ R_{1} = R_{2} & = G \frac{1}{\sqrt[]{6}} = 24, 5 kp . \end{matrix}

Ha a rudak a csúcspontra az ábra szerinti irányú

24, 5 kp

-os erővel hatnak, akkor Newton III. törvénye szerint a csúcspont a rudakat ellentétes irányú

24, 5 kp

-os erővel nyomja. Hasonló okból a kötelet

73, 5 kp

-os erő húzza, Mivel a tetraédert függőleges tengely körül elforgatva a rendszer önmagába megy át, a többi csúcspontban hasonló a helyzet.
Mint láthattuk, a végeredmény független a tetraéder éleinek hosszától.

Ráskai Ferenc (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t. ) dolgozata alapján

Megjegyzés. A rúderők csak akkor határozhatók meg egyértelmúen, ha feltételezzük, hogy a rudak összekapcsolása csuklókkal történt. Ellenkező esetben a rendszer ‐ a szimmetria ellenére is ‐ statikailag határozatlan.