Kezdőlap


Feladat:	867. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gerhardt Tamás , Gyimesi Ferenc , Hordósy Gábor , Ormos Pál , Sailer Kornél
Füzet:	1970/május, 235 - 236. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Hooke-törvény, Lineáris hőtágulás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/október: 867. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Számítsuk ki, hogy az eredetileg $r$ sugarú karikát ráhúzva az $r_{0}$ sugarú tengelyre, mekkora nyomóerő lép föl a karika és a tengely között! Tekintsük a karika egy kicsiny $Δ φ$ középponti szöghöz tartozó darabját! Ennek $r Δ φ$ -ről $r_{0} Δ φ$ -re való nyújtásához $F_{1}$ erő szükséges, mely Hooke törvényéből

\begin{matrix} F_{1} = E A \frac{r_{0} Δ φ - r Δ φ}{r Δ φ} = E A \frac{r_{0} - r}{r} . \end{matrix}

Ekkora erő hat a karika vizsgált darabjának két végén, ezek eredője a tengely és a karika

Δ φ

középponti szögű része között ható radiális irányú nyomóerő:

\begin{matrix} Δ F = 2 F_{1} sin Δ φ / 2. \end{matrix}

A karika

2 π / Δ φ

számú

Δ φ

középponti szögű részre osztható, így a karika a tengelyre összesen

\begin{matrix} F = \frac{2 π}{Δ φ} Δ F = \frac{2 π F_{1} sin Δ φ / 2}{Δ φ / 2} \end{matrix}

nyomóerővel hat. Ha

Δ φ \to 0

, akkor

\frac{sin Δ φ / 2}{Δ φ / 2} \to 1

, tehát

\begin{matrix} F = 2 π F_{1} = 2 π E A \frac{r_{0} - r}{r} . \end{matrix}

A karika nem csúszik meg

M

forgatónyomaték hatására, ha

M = r_{0} F_{s}

, ahol

F_{s}

a tengely és a karika közti teljes súrlódásí erő.

F_{s} \leq μ F

, így

\begin{matrix} M \leq μ r_{0} F = μ r_{0} 2 π E A \frac{r_{0} - r}{r} \end{matrix}

Innen kifejezve kapjuk, hogy a karika eredeti sugara legfeljebb

\begin{matrix} r \leq \frac{2 π μ_{0}^{2} E A}{M + 2 π μ r_{0} E A} . \end{matrix}

Összeillesztés előtt a karikát legalább

Δ t = Δ r / (r α)

fokkal kell felmelegíteni. Ha

r

-et maximális értékűre választjuk, akkor az

r

-re kapott értéket behelyettesítve

\begin{matrix} Δ t = \frac{r_{0} - r}{r α} = \frac{M}{2 π r_{0} μ E A} . \end{matrix}

Az adott numerikus adatokkal a karika sugara eredetileg legfeljebb

0, 995 cm

lehet, és az összeillesztés előtt hőmérsékletét legalább

442^{\circ} C

-kel kell emelni.

Sailer kornél (Ózd, József A. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A karikában ébredő

F_{1}

rugalmassági erő, valamint a tengely és a karika között ható összes

F

nyomóerő arányát megkaphatjuk a virtuális munka elve alapján is. Ha a karika sugara

Δ r

-rel változik, akkor

F

munkája

F Δ r

. A karika kerülete

2 π (r + Δ r) - 2 π r = 2 π Δ r

-rel változik meg, az

F_{1}

erő munkája tehát

F_{1} \cdot 2 π Δ r

.
A virtuális munka elve alapján

\begin{matrix} F Δ r = F_{1} \cdot 2 π Δ r, \\ F = 2 π F_{1} . \end{matrix}

Ormos Pál (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)