Kezdőlap


Feladat:	864. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Chikány Gábor , Fundák György , Iglói Ferenc , Máté András
Füzet:	1970/május, 232 - 233. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabadesés, Harmonikus rezgőmozgás, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/október: 864. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az asztal lapja felett $x$ magasságban levő testre ható erőt $F$ -fel (1. ábra), melynek értéke a rugótörvény szerint

\begin{matrix} F = k (h - x) . \end{matrix}

1. ábra

m

tömegű test mozgásegyenlete:

\begin{matrix} m a = m g - F . \end{matrix}

Ez egy olyan rezgőmozgást ír le, melynek nyugalmi helyzete a rugó eredeti végpontjától

\begin{matrix} h - h_{0} = \frac{m g}{k} \end{matrix}

távolsággal eltolódott. A rezgőmozgás körfrekvenciája

ω = \sqrt[]{\frac{k}{m}}

, az

A

amplitúdót pedig az energiatételből számíthatjuk ki. A kezdeti helyzet

m v^{2} / 2

mozgási és a legalsó helyzethez viszonyított

m g (h - h_{0} + A)

helyzeti energiája megegyezik a rugó rugalmas energiájával:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} + m g (h - h_{0} + A) = \frac{1}{2} k {(h - h_{0} + A)}^{2} . \end{matrix}

Felhasználva

h_{0}

értékét, kapjuk, hogy

\begin{matrix} A = \frac{\sqrt[]{m^{2} g^{2} + m v^{2} k}}{k} . \end{matrix}

A test addig mozog a rugóval együtt, amíg

F \geq 0

, hiszen a két test között csak nyomóerő léphet fel. Ez viszont

x \leq h

esetben teljesül, vagyis a test ugyanolyan magasságban hagyja el a rugót, mint ahol ráesett.

2. ábra

A mozgás út-idő grafikonjáról (2. ábra) leolvasható, hogy a test

T / 2 + 2 t_{0}

ideig mozog a rugóval együtt, ahol

t_{0}

értékét a

\begin{matrix} h - h_{0} = A sin ω t_{0} \end{matrix}

egyenletből határozhatjuk meg.
A feladat számadataival

ω = 2 1/s

h - h_{0} = 250 cm

A = 353 cm

ω t_{0} = π / 4

és

t_{2} - t_{1} = (3 / 4) π s = 2, 4 s

Fundák György (Bp., I. István Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A rugó legnagyobb rövidülése

h - h_{0} + A = 603 cm

. A lineáris erőtörvény általában csak akkor érvényes, ha a rugó hossza legalább néhányszorosa az összenyomódásnak, tehát a rugó eredeti

h

hosszának

10

‐

20 m

-nek kellene lenni. Ekkora rugót (ha létezik is) nem lehet egy asztalra állítani.

Chikány Gábor (Bp., I. István Gimn., III. o. t.)

2. Nagyon sok versenyző a mozgásmennyiség

Δ I

megváltozását számította ki és az

F Δ t = Δ I

egyenletből akarta kiszámítani az érintkezés idejét. Ez elvileg helyes, ha

F

helyébe a megfelelő átlagerőt írjuk. A hibát ott követték el, hogy

F_{0} = k {(h - h_{0} + A)}^{2} / 2

értéket használtak, mely a rugóerőnek útszakaszra vett átlagértéke. Jelen esetben viszont időbeli átlagot kell számítani, hiszen az erőt egy időtartammal szorozzuk. Mivel a test hosszabb ideig tartózkodik

h_{0}

alatt, mint felett, ezért az időbeli átlag nagyobb, mint

F_{0}

és függ a mozgás út-idő kapcsolatától.