Kezdőlap


Feladat:	863. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Guoth János , Juhász Tibor , Klebniczki József
Füzet:	1970/május, 230 - 232. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Izotermikus állapotváltozás (Boyle--Mariotte-törvény), Hidrosztatikai nyomás, Görbületi nyomás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/október: 863. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A higany az emelés előtt azonos szinten van az üvegcsövön belül és kívül. Ekkor a külső levegő $p$ nyomása egyenlő az üvegcsőben levő levegő nyomásával. Jelöljük $x$ -szel a higanyoszlop magasságát a csőben az emelés után!

k

nagyságú emelés után írjuk fel a Boyle ‐ Mariotte törvényt az üvegcsőben levő levegőre:

\begin{matrix} p A l = p_{1} A (l + k - x) . \end{matrix}

(1)

(Itt

A

az üvegcső keresztmetszete,

p_{1}

pedig a belső levegő nyomása az emelés után.)
Az emelés után az üvegcsőben levő higanyoszlop és az üvegcsőben levő levegő nyomása tart egyensúlyt a külső légnyomással. Ha nyomásegységnek a Hgmm-t választjuk, akkor a nyomások egyensúlya a következő alakú:

\begin{matrix} p = p_{1} + x . \end{matrix}

(2)

Ebből

p_{1}

egyszerűen kifejezhető. Behelyettesítjük (1)-be, így másodfokú egyenlethez jutunk:

\begin{matrix} x^{2} - x (p + k + l) + p k = 0. \end{matrix}

Két megoldás van:

\begin{matrix} x = \frac{(p + k + l) \pm \sqrt[]{{(p + k + l)}^{2} - 4 p k}}{2} . \end{matrix}

+

jelnek megfelelő megoldásnak nincsen fizikai értelme, hiszen

\begin{matrix} \frac{p + k + l + \sqrt[]{{(p + k + l)}^{2} - 4 p k}}{2} = \frac{p + k + l + \sqrt[]{{(k + l - p)}^{2} + 4 p l}}{2} \geq \\ \geq \frac{p + k + l + (k + l - p)}{2} = k + l, \end{matrix}

tehát szükségképpen

\begin{matrix} x = \frac{p + k + l - \sqrt[]{{(p + k + l)}^{2} - 4 p k}}{2} = \frac{p + k + l - \sqrt[]{{(k + l - p)}^{2} + 4 p l}}{2} \end{matrix}

Erről egyébként a következőket láthatjuk be:

\begin{matrix} x = \frac{p + k + l - \sqrt[]{{(p + k + l)}^{2} - 4 p k}}{2} \geq \frac{p + k + l - \sqrt[]{{(p + k + l)}^{2}}}{2} = 0, \\ x = \frac{p + k + l - \sqrt[]{{(k + l - p)}^{2} + 4 p l}}{2} \leq \frac{p + k + l - (k + l - p)}{2} = p . \end{matrix}

Megemlítjük még, hogy az előbbiekben feltételeztük, hogy az üvegcső elég hosszú.

Klebinczki József (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A kitűzött feladatban mellékeffektusok is felléphetnek. Ilyen pl. a kapillaritás jelensége. Ezt a görbületi nyomással vehetjük figyelembe. Legyen a görbületi nyomás

p_{g} = 2 α / R

, ahol

α

a felületi feszültség,

R

pedig a felület görbületi sugara. Így

\begin{matrix} p = p_{1} + x + p_{g} (nyomások egyensúlya), \end{matrix}

A l \cdot (p - p_{g}) = A (l + k - x) p_{1}

(Boyle ‐ Mariotte törvény).
Az ezekből származtatható egyenlet

x^{2} - x [l + k + (p - p_{g})] + k (p - p_{g}) = 0

. Legyen

p_{eff} = p - p_{g}

. Ekkor a megoldás most is az előbbihez hasonló alakú:

\begin{matrix} x = \frac{(l + k + p_{eff}) - \sqrt[]{{(l + k + p_{eff})}^{2} - 4 p_{eff} k}}{2} . \end{matrix}

A görbületi nyomást tehát egyszerűen le kell vonni a külső légnyomásból.

Guoth János (Bp., Radnóti M. Gyak. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján

2. Egy másik mellékeffektus az, hogy véges kiterjedésű tál esetén a külső higanyszint lesüllyed, miközben a belső megemelkedik. Ha

A_{1}

a cső keresztmetszete,

A_{2}

a tálé, akkor a megemelés után a higany felszíne

(1 + \frac{A_{1}}{A_{2}}) x

értékkel lesz magasabban a csőben, mint a tálban. ( Itt

x

a higany felszínének a kiindulási állapothoz viszonyított emelkedését jelenti.) A két egyenlet most

\begin{matrix} p = p_{1} + x (1 + \frac{A_{1}}{A_{2}}) . \\ A_{1} l \cdot p = (k + l - x) A_{1} \cdot p_{1} . \end{matrix}

Ezekből az egyenlet

x

-re:

\begin{matrix} x^{2} (1 + \frac{A_{1}}{A_{2}}) - x [(1 + \frac{A_{1}}{A_{2}}) (l + k) + p] + p k = 0. \end{matrix}

Mivel

1 + \frac{A_{1}}{A_{2}} \neq 0

, így

\begin{matrix} x^{2} - x [l + k + \frac{p}{1 + \frac{A_{1}}{A_{2}}}] + k \cdot \frac{p}{1 + \frac{A_{1}}{A_{2}}} = 0. \end{matrix}

Legyen

p_{eff} = \frac{p}{1 + \frac{A_{1}}{A_{2}}}

, a megoldás alakja most is

\begin{matrix} x = \frac{(l + k + p_{eff}) - \sqrt[]{{(l + k + p_{eff})}^{2} - 4 p_{eff} k}}{2} . \end{matrix}

Vegyük észre, hogy gyökeresen különböző jelenségeket tudunk leírni ugyanazzal a formális kifejezéssel azáltal, hogy a betűk jelentése megváltozott. (Ebben az esetben a tál véges kiterjedésének figyelembevétele úgy jelentkezett az egyenletben, mintha a külső

p

nyomás lecsökkent volna egy

p_{eff}

nyomásra.) Bonyolultabb fizikai feladatok megoldásánál is gyakran szokásos hasonló fogással élni. Ez az alapja az ún. ,,effektív mennyiségek'' bevezetésének, amelyek így sok esetben egyszerűsítik a számításokat.

Juhász Tibor (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján