Kezdőlap


Feladat:	847. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bajmóczy Ervin , Bálványos Zoltán , Gyimesi Ferenc , Hordósy Gábor , Várady J.
Füzet:	1970/április, 180 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/május: 847. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $M$ nem mozgott a dobozhoz képest, akkor a doboz közepén helyezkedett el. Földetérés után az $M$ test harmonikus rezgőmozgást végez, melynek centruma $y_{0} = \frac{M g}{2 D}$ -vel a szimmetriahelyzet alatt van. A rezgés körfrekvenciája: $ω = \sqrt[]{\frac{2 D}{M}}$ és ha $A$ a rezgés amplitúdója, az $M$ tömeg $t_{0}$ idő alatt ér a rezgőmozgás centrumába, akkor:

\begin{matrix} y_{0} = \frac{M g}{2 D} = A \cdot sin ω t_{0} \end{matrix}

és

\begin{matrix} v_{0} = A ω cos ω t_{0}, \end{matrix}

ahonnan

A

és

t_{0}

kifejezhető:

\begin{matrix} A = \sqrt[]{{(\frac{v_{0}}{ω})}^{2} + {(\frac{M g}{2 D})}^{2}} és t_{0} = \frac{1}{ω} arc sin \frac{1}{\sqrt[]{1 + {(\frac{2 D v_{0}}{M g ω})}^{2}}} . \end{matrix}

Utóbbiban felhasználva, hogy

ω^{2} = \frac{2 D}{M}

\begin{matrix} t_{0} = \sqrt[]{\frac{M}{2 D}} arc sin \frac{1}{\sqrt[]{1 + \frac{2 D v_{0}^{2}}{M g^{2}}}} . \end{matrix}

y_{0}

helyzetbe a rezgő tömeg félperiódusnyi idő, azaz

\begin{matrix} \frac{T}{2} = \frac{π}{ω} = π \sqrt[]{\frac{M}{2 D}} \end{matrix}

múlva tér vissza alulról, majd

t_{1}

idő alatt éri el azt az

y_{1}

kitérést, melynél a rugóerők elérik az

m g

értéket és a doboz felemelkedik. Ekkor az

M

tömeg a doboz közepe fölött

m g / 2 D

magasságban van, a rezgéscentrumtól a kitérése így

\begin{matrix} y_{1} = \frac{m g}{2 D} + y_{0} = \frac{m g}{2 D} + \frac{M g}{2 D} = \frac{m + M}{2 D} g = A \cdot sin ω t_{1} . \end{matrix}

Innen kifejezhetjük

t_{1}

-et, felhasználva

A

és

ω

már ismert kifejezéseit:

\begin{matrix} t_{1} = \frac{1}{ω} arc sin \frac{y_{1}}{A} = \sqrt[]{\frac{M}{2 D}} arc sin \frac{(m + M) g}{\sqrt[]{2 M D v_{0}^{2} + M^{2} g^{2}}} . \end{matrix}

A földetéréstől a felemelkedésig eltelt idő:

\begin{matrix} t = t_{0} + \frac{T}{2} + t_{1} = \sqrt[]{\frac{M}{2 D}} (a r c \end{matrix}

Numerikusan:

t = 0, 893 s

adódik.
Annak feltétele, hogy a doboz egyáltalán felemelkedjék:

\begin{matrix} A > y_{1}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{M v_{0}^{2}}{2 D} + {(\frac{M g}{2 D})}^{2}} > \frac{(m + M) g}{2 D}, \end{matrix}

egyszerűbben

\begin{matrix} M > \frac{m / 2}{\frac{D v_{0}^{2}}{{m g}^{2}} - 1} . \end{matrix}

Gyimesi Ferenc (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.)