Kezdőlap


Feladat:	843. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ábrahám Zoltán
Füzet:	1970/március, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hangsebesség, Szabadesés, Tömegközéppont helye, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/május: 843. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először meg kell állapítani a két időpontban a vízfelszín mélységét. Az első ejtésnél a következő összefüggések igazak:

\begin{matrix} s_{1} = \frac{g}{2} t_{1}^{2}, továbbá s_{1} = c \cdot t_{2} \end{matrix}

és

t_{1} + t_{2} = 1, 7 s

. Itt

s_{1}

a vízfelszín távolsága a kút szélétől (feltesszük, hogy itt hallgatjuk a csobbanást, és innen ejtünk),

c

a hangsebesség,

t_{1}

az esési idő,

t_{2}

a hang visszaérkezésének ideje. Ezekből az egyenletekből

s_{1}

-et kétféle módon számíthatjuk. Közvetlen mód:

\begin{matrix} t_{1} = \sqrt[]{\frac{2 s}{g}}, t_{2} = \frac{s}{c}, és ebből \\ \sqrt[]{\frac{2 s}{g}} + \frac{s}{c} = 1, 7 s . \end{matrix}

Ez azonban irracionális egyenlet, további nehézség pedig, hogy ebből olyan másodfokú egyenletet nyerünk, hogy a megoldóképlet számlálójának két tagja csak nagyon kevéssel tér el egymástól, s így a relatív hiba igen nagy lehet. Emiatt a gyökvonást (a diszkriminánsból) nagyon pontosan kell elvégezni (6‐7 jegyre).
A másik mód

s_{1}

kiszámítására:

\begin{matrix} \frac{g}{2} t_{1}^{2} = c (1, 7 - t_{1}) \end{matrix}

az utak egyenlőségéből, így

\begin{matrix} \frac{g}{2} t_{1}^{2} + c t_{1} - c \cdot 1, 7 = 0. \end{matrix}

Ennek megoldása:

\begin{matrix} t_{1} = 1, 66 s, így t_{2} = 0, 04 s . \end{matrix}

Visszahelyettesítve:

s_{1} = 13, 52 m

.
(A

c \cdot t_{2}

pontatlanabb eredményt ad, mert

t_{2}

-ben csak egy értékes jegyünk van.)
Ugyanígy járunk el a másik ejtésnél. Itt

\begin{matrix} s_{2} = \frac{g}{2} t_{3}^{2}, s_{2} = c \cdot t_{4} és t_{3} + t_{4} = 2 s . \end{matrix}

A három egyenletből:

s_{2} = 18, 53 m

.
A kiszivattyúzott vízmennyiség

5

perc alatt:

\begin{matrix} V = r^{2} π (s_{2} - s_{1}) = 0, 35^{2} \cdot π \cdot 5, 01 m^{3} = 1, 93 m^{3} . \end{matrix}

A végzett munkát úgy számíthatjuk, hogy emelési magasságnak a vízmennyiség súlypontjának elmozdulását vesszük. Ez

\begin{matrix} \frac{s_{1} + s_{2}}{2} = 16, 02 m \end{matrix}

és így

\begin{matrix} W = 1, 93 \cdot 10^{3} \cdot 16, 02 mkp = 30 900 mkp . \end{matrix}

A teljesítmény:

\begin{matrix} P = \frac{30 900}{300} mkp/s = 103 mkp/s = 1, 37 LE \approx 1 kW . \end{matrix}

Ábrahám Zoltán (Nagykőrös, Arany J. Gimn., II. o. t.)