Kezdőlap


Feladat:	839. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pál Jenő , Romsics László , Vermes Miklós
Füzet:	1970/február, 90 - 91. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Nagy kitérítés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/április: 839. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Elegendő csak azt az esetet vizsgálnunk, amikor felfelé indítjuk a fonál végén levő testet, mert ha lefelé indítanánk, akkor a másik oldalon az alsó félkör megtétele után ugyanakkora sebességgel indulna felfelé. A felfelé induló testet a fonál körpályára kényszeríti. A körmozgást fenntartó centripetális erő a fonál feszítő erejéből és a súlyerő fonálirányú komponenséből adódik össze. A mozgás során a súlyerő fonálirányú komponense növekszik, a centripetális erő pedig csökken, mivel a súlyerő érintőirányú komponense lassítja a körmozgást. Amint a súlyerő fonálirányú komponense eléri a centripetális erő értékét, a fonál meglazul és egy ferde hajítási feladattal állunk szemben, amelyben a kezdősebesség nagysága ismeretlen. Világos, hogy a fonál nem fog még egyszer megfeszülni, hiszen az eddig növekvő vízszintes sebességkomponens állandó marad, míg a függőleges még erősebben csökken. Ha a kezdősebesség $v_{0}$ , és a fonál ellazulása pillanatában a sebesség $v$ , a fonálnak a vízszintessel bezárt szöge $α$ , akkor

\begin{matrix} m v^{2} / l = m g \cdot sin α, & (1) \\ m v_{0}^{2} / 2 = m v^{2} / 2 + m g l \cdot sin α (az energiatételből), & (2) \\ l \cdot cos α = t v \cdot sin α, & (3) \\ l \cdot sin α = g t^{2} / 2 - t v \cdot cos α . & (4) \end{matrix}

(3)-ból

t

-t, (1) és (2)-ből

v^{2}

-et ill.

sin α

-t kifejezve és (4)-be beírva azonnal nyerjük a végeredményt:

v_{0} = \sqrt[]{\sqrt[]{3} l g}

. Tehát ekkora sebességgel kell indítanunk a testet, hogy a felfüggesztési ponton haladjon keresztül.

Romsics László ( Baja, III. Béla Gimn., III. o. t.)

Pál Jenő (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Érdekes a feladat általánosítása, amikor a fonál végén levő test a vízszintes körátmérő bármely pontjába érkezhet. Határozza meg a test helyzetét az

α

szög függvényében (l. az ábrát).

Annak a feltétele, hogy a test az a szöghöz tartozó

C

pontban hagyja el befelé a kört az, hogy

C

-ben a sebessége

c = \sqrt[]{g r cos α}

legyen. Ezzel mint kezdősebességgel ferde hajítást végez. A hajítási pálya függvénye, ha a koordinátarendszert a kör

O

középpontjába tesszük:

\begin{matrix} y = \frac{2 {cos}^{2} α - {sin}^{2} α}{2 {cos}^{3} α} \cdot l - {tg}^{2} α \cdot x - \frac{1}{2 l {cos}^{3} α} \cdot x^{2} . \end{matrix}

Ennek vizsgálata a következő eredményekre vezet. A vízszintes átmérőt ebben a pontban éri el a test:

\begin{matrix} x = l [- {sin}^{3} α + \sqrt[]{{sin}^{6} α + 2 {cos}^{2} α - {sin}^{2} α}] . \end{matrix}

A hajítási pálya csúcspontjának magassága,

y = l cos α (3 - {cos}^{2} α) / 2

, fókuszának magassága

y = l cos α (3 - 2 {cos}^{2} α) / 2

és e két pont

x

-koordinátája

x = - l {sin}^{3} α

. Ábránk

α

szög

90^{\circ}

75^{\circ}

{54, 7}^{\circ}

45^{\circ}

30^{\circ}

és

0^{\circ}

-os értékei mellett mutatja a pályákat. Az eredeti feladathoz az

α = {54, 7}^{\circ}

tartozik.

α = 45^{\circ}

-nál van a fókusz a legmagasabban. A vízszintes átmérő másik,

B

végpontját

α = 30^{\circ}

-os indításnál éri el a test.

30^{\circ} > α

esetén a parabola pálya metszi az

l

sugarú kört, a metszéspontban a kötél újra megfeszül, és a test "visszapattan''.
A pályák akkor jönnek létre, ha az elhagyás

C

pontjában a sebesség

c = \sqrt[]{g r cos α}

. Ha azt akarjuk, hogy

A

-ból történő függőleges indításnál

C

-ben ez legyen a sebesség, akkor

A

-ban függőlegesen

v = \sqrt[]{3 g r cos α}

sebességgel kell a testet felfelé elindítani.

(Vermes Miklós)