Kezdőlap


Feladat:	836. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Beke-Martos Gábor , Iglói Ferenc
Füzet:	1970/január, 46 - 48. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Összetartó erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/április: 836. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Feltételezzük, hogy az oszlop merev. A függőleges oszlopot olyan magasságban támasztjuk meg a másik oszloppal, hogy annak a ráható ereje önmagában kompenzálja a két $F$ nagyságú erő hatását, tehát hogy a földbe döngölt részre a földnek ne kelljen vízszintes nyomóerőt kifejtenie (1. ábra) az egyensúly fenntartásához.

1. ábra

Más szóval csak az oszlop súlyát kell a támasztóoszlop erejének függőleges komponensével együtt kiegyensúlyoznia. El lehet képzelni olyan esetet is, amikor a földnek az oszlopra kifejtett vízszintes nyomóereje is részt vesz az egyensúly fenntartásában, azonban egyszerűség kedvéért ezzel nem foglalkozunk.
Vegyünk fel az oszlop

0

talppontjában (2. ábra) a két

F

erővel és a

h

magasságban támasztó rúd

K

erejével párhuzamos, egyirányú és ellentétes irányú,

0

eredőjű erőket (

0

eredőjű erőrendszert bármely pontban felvehetünk).

2. ábra

A negatív előjelű erők az eredeti erőkkel erőpárokat alkotnak (forgatónyomatékokat), a pozitív előjelűek pedig egyetlen eredő erőt adnak. Az egyensúlyhoz szükséges egyrészt, hogy az így kapott eredő erő vízszintes komponense

\begin{matrix} F \sqrt[]{2} - K \cdot cos α = 0 \end{matrix}

(1)

legyen, másrészt a két

F

nagyságú erő forgatónyomatékainak eredőjét a

K

támaszerő forgatónyomatékának megfelelő komponense kiegyensúlyozza.
A fellépő forgatónyomatékok:

\begin{matrix} M_{1} = \frac{2}{3} l \cdot F, M_{2} = \frac{1}{3} l \cdot F, M_{3} = K \cdot h \cdot cos α, \end{matrix}

s irányukat az ábrán bejelöltük (mivel a támaszoszlop vetülete az erőkkel

45^{\circ}

-os szöget zár be,

M_{3}

iránya az

M_{1}

M_{2}

szögfelezőjének meghosszabbítása).

3. ábra

Tehát az egyensúly másik feltétele:

\begin{matrix} M_{3} cos (45^{\circ} - β) = \sqrt[]{M_{1}^{2} + M_{2}^{2}} . \end{matrix}

(2)

A 3. ábra szerint

\begin{matrix} cos α = \frac{l^{2} - h^{2}}{l}, \end{matrix}

\begin{matrix} cos (45^{\circ} - β) = \frac{cos β + sin β}{\sqrt[]{2}} = \frac{M_{1} + M_{2}}{\sqrt[]{2} \sqrt[]{M_{1}^{2} + M_{2}^{2}}} = \frac{3}{\sqrt[]{10}} . \end{matrix}

Ezeket felhasználva

\begin{matrix} K = F \sqrt[]{2} \cdot \frac{l}{\sqrt[]{l^{2} - h^{2}}}, \end{matrix}

\begin{matrix} K \cdot h \cdot cos α \frac{3}{\sqrt[]{10}} = \sqrt[]{M_{1}^{2} + M_{2}^{2}} = \frac{\sqrt[]{5}}{3} \cdot l \cdot F . \end{matrix}

Ezt az egyenletrendszert megoldva kapjuk:

\begin{matrix} h = \frac{5}{9} l, s így K = F \sqrt[]{2} \frac{l}{\sqrt[]{l^{2} - \frac{25}{81} l^{2}}} = \frac{9}{\sqrt[]{28}} F \approx 1, 7 F . \end{matrix}

Számadatainkkal

h = \frac{10}{9} m \approx 1, 1 m, K = 85 kp .

Megjegyzések. 1. Hibátlan megoldás nem érkezett. Néhány dolgozat tartalmaz helyes kiindulást.
2. A versenyzők nagy része nem volt tisztában a forgatónyomaték vektori jellegével. Sokan a forgatónyomatékok egyensúlyára nem is gondoltak.