Kezdőlap


Feladat:	832. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bajmóczy Ervin , Czibolya László , Horváthy Péter , Magyari István , Maróti Péter , Nagy András
Füzet:	1970/január, 42 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb váltóáramú áramkörök, Induktív ellenállás, Kapacitív ellenállás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/március: 832. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bemenettel párhuzamosan kapcsolt kondenzátor az $A$ és $B$ pontok közt mérhető feszültséget nem változtatja meg, ezért a kapcsolásból elhagyhatjuk. Jelöljük az áramkörben folyó ismeretlen áramokat az ábra szerint $i_{1} (t)$ , $i_{2} (t)$ , $i_{3} (t)$ -vel, a kondenzátorokon levő töltéseket $q_{2} (t)$ és $q_{3} (t)$ -vel.

Az idézett cikk szerint ezek között fennállnak a

\begin{matrix} q'_{2} (t) = i_{2} (t), q'_{3} (t) = i_{3} (t) \end{matrix}

összefüggések, ahol a vessző az illető függvény változási sebességét jelenti. Írjuk fel a Kirchhoff-egyenleteket az

E C D F

és

C A B D

áramkörökre, illetve a

C

csomópontra:

\begin{matrix} L i'_{1} (t) + \frac{1}{C} q_{2} (t) = U_{0} cos ω t, & (1) \\ L i'_{3} (t) + \frac{1}{C} q_{3} (t) - \frac{1}{C} q_{2} (t) = 0, & (2) \\ i_{1} (t) = i_{2} (t) + i_{3} (t) . & (3) \end{matrix}

A (3) egyenletet

i'_{1} (t) = i'_{2} (t) + i'_{3} (t)

alakban is írhatjuk, és így

i'_{1} (t)

-t (1)-be helyettesíthetjük.
Mivel a bemenő feszültség az időnek színuszos függvénye és az áramkör (1)‐(3) egyenleteiben az ismeretlen függvények lineárisan fordulnak elő, ezért a bekapcsolási jelenségek lezajlása után valamennyi mennyiség csak szinuszosan függhet az időtől.
Keressük a megoldást

\begin{matrix} i_{2} (t) = I_{2} sin (ω t - φ_{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} i_{3} (t) = I_{3} sin (ω t - φ_{3}) \end{matrix}

alakban. Ekkor nyilván

\begin{matrix} i'_{2} (t) & = I_{2} ω cos (ω t - φ_{2}), \\ i'_{3} (t) & = I_{3} ω cos (ω t - φ_{3}), és \\ q_{2} (t) & = - \frac{I_{2}}{ω} cos (ω t - φ_{2}), \\ q_{3} (t) & = - \frac{I_{3}}{ω} cos (ω t - φ_{3}) . & (4) \end{matrix}

Ezeket (1)‐(2) egyenletekbe helyettesítve rendezés után a következőket kapjuk:

\begin{matrix} I_{2} (L ω - \frac{1}{ω C}) cos (ω t - φ_{2}) + I_{3} L ω cos (ω t - φ_{3}) = U_{0} cos ω t, & (1') \\ I_{2} \frac{1}{ω C} cos (ω t - φ_{2}) = I_{3} (\frac{1}{ω C} - L ω) cos (ω t - φ_{3}) . & (2') \end{matrix}

(2')

jobb és bal oldalán álló kifejezések csak akkor lehetnek minden

t

időpontban egyenlők, ha

φ_{2} = φ_{3}

és

\begin{matrix} \frac{I_{2}}{ω C} = I_{3} (\frac{1}{ω C} - L ω) . \end{matrix}

(5)

Ezeket

(1')

-be írva hasonló meggondolással kapjuk, hogy

\begin{matrix} φ_{2} = φ_{3} = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} I_{2} (L ω - \frac{1}{ω C}) + I_{3} L ω = U_{0} . \end{matrix}

(6)

(5) és (6) egyenletrendszert

I_{3}

-ra megoldjuk:

\begin{matrix} I_{3} = - \frac{U_{0} ω C}{{(L C ω^{2})}^{2} - 3 L C ω^{2} + 1} . \end{matrix}

Helyettesítsük be (4)-be a kapott

I_{3}

és

φ_{3}

értékeket:

\begin{matrix} q_{3} (t) = \frac{U_{0} C}{{(L C ω^{2})}^{2} - 3 L C ω^{2} + 1} cos ω t . \end{matrix}

A

és

B

pontok közt mérhető feszültség

q_{3} (t) / C

, tehát

\begin{matrix} U_{A B} = \frac{U_{0} cos ω t}{{(L C ω^{2})}^{2} - 3 L C ω^{2} + 1} . \end{matrix}

Látható, hogy a bemenethez képest fáziskésés nincsen, csak az amplitúdó változik meg. Az amplitúdó akkor lesz

100

-szor kisebb, ha

\begin{matrix} {(L C ω^{2})}^{2} - 3 L C ω^{2} + 1 = 100, vagyis L C ω^{2} = 11, 56. \end{matrix}

Tehát a keresett induktivitás:

\begin{matrix} L = \frac{11, 56}{{(314 \frac{1}{s})}^{2} \cdot 10^{- 5} F} = 11, 7 H . \end{matrix}

Czibolya László (Gyöngyös, Berze N. J. Gimn., IV. o. t.)