Kezdőlap


Feladat:	830. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyimesi Ferenc , Pócz István , Szamosújvári Sándor
Füzet:	1970/január, 39 - 41. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hooke-törvény, Egyéb párhuzamos erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/március: 830. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tételezzük fel, hogy a rugók rögzített végei egy vízszintes egyenesen vannak. A szabad végekre tesszük rá a $G$ súlyú rudat, amely a kialakult egyensúlyi helyzetben a vízszintessel $α$ szöget zár be (1. ábra).

1. ábra

A rúdra ható rugóerők, ha a rugók összenyomódás utáni hossza

x_{1}

x_{2}

x_{3}

\begin{matrix} F_{1} = K_{1} (X_{1} - x_{1}), \end{matrix}

\begin{matrix} F_{2} = K_{2} (X_{2} - x_{2}), \end{matrix}

\begin{matrix} F_{3} = K_{3} (X_{3} - x_{3}) . \end{matrix}

A nyugalomhoz az erők és a forgatónyomatékok egyensúlya szükséges:

\begin{matrix} F_{1} + F_{2} + F_{3} = G, \\ F_{1} y_{1} + F_{2} y_{2} + F_{3} y_{3} = 0, \end{matrix}

ha az

y

távolságokat a súlypont egyik oldalán (pl. jobbra) pozitívnak, a másik oldalán pedig negatívnak vesszük.
Mivel a rúd egyenes, fennáll még:

\begin{matrix} tg α = \frac{x_{2} - x_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x_{3} - x_{2}}{y_{3} - y_{2}} . \end{matrix}

Egyenleteinket megoldva kapjuk a keresett erőket, pl.:

\begin{matrix} F_{1} = K_{1} \frac{G [K_{2} y_{2} (y_{1} - y_{2}) + K_{3} y_{3} (y_{1} - y_{3})]}{K_{1} K_{2} {(y_{1} - y_{2})}^{2} + K_{2} K_{3} {(y_{2} - y_{3})}^{2} + K_{1} K_{3} {(y_{1} - y_{3})}^{2}} + \end{matrix}

\begin{matrix} + \frac{K_{2} K_{3} (y_{2} - y_{3}) [X_{1} (y_{2} - y_{3}) + X_{2} (y_{3} - y_{1}) + X_{3} (y_{1} - y_{2})]}{K_{1} K_{2} {(y_{1} - y_{2})}^{2} + K_{2} K_{3} {(y_{2} - y_{3})}^{2} + K_{1} K_{3} {(y_{1} - y_{3})}^{2}}; \end{matrix}

s a másik két erő is hasonló alakú.
Ahhoz, hogy a feladatnak legyen értelme, kell, hogy a súlypont mindkét oldalán legyen rugó, mert ellenkező esetben az eredő forgatónyomaték nem lehet 0, hiszen a rúd nincsen rögzítve a rugókhoz, s így azok csak nyomóerőt képesek kifejteni rá

(F_{1}, F_{2}, F_{3} > 0)

, Persze azt is feltételeznünk kell, hogy a súrlódási együttható a rúd és a rugók között elég nagy ahhoz, hogy a ferde helyzetű rúd ne csússzon meg.
Ha a rugókat merev ékekkel helyettesítjük, az egyensúly feltétele:

\begin{matrix} F_{1} + F_{2} + F_{3} = G és \\ F_{1} y_{1} + F_{2} y_{2} + F_{3} y_{3} = 0. \end{matrix}

2 egyenletünk van 3 ismeretlenre, a feladat statikailag határozatlan, egyértelmű megoldást csak a rugalmassági (deformációs) egyenletek felírásával nyerhetünk.

Pócz István (Jászberény, Kállai É. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján

II. megoldás. A feladat szövege úgy is értelmezhető, hogy a rugók nyugalmi (összenyomás nélküli) helyzetben fekvő végei egy vízszintes egyenesen fekszenek, tehát hogy a rúd a rugókra tevés pillanatában vízszintes. (Így a különböző rugóhosszak miatt a rögzített végek nyilván különböző magasságokban lesznek. 2. és 3. ábra.)

2. ábra

3. ábra

Ekkor az első megoldás egyenletei közül csak a rúd egyenességét kifejező egyenlet változik meg (ha pl.

x_{2} \geq x_{1}, x_{2} \geq x_{3}

\begin{matrix} \frac{x_{2} - x_{1} - (X_{2} - X_{1})}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x_{3} - x_{2} (X_{2} - X_{3})}{y_{3} - y_{2}} . \end{matrix}

Egyenleteinket megoldva most is megkaphatjuk a keresett rugóerőket.

Szamosújvári Sándor(Debrecen, KLTE Gimn., III. o. t.)

III. megoldás. Lehetséges a következő értelmezés is: a rugók alsó, rögzített végpontjai egy vízszintes egyenesen vannak, és az összenyomott rugók által tartott rúd vízszintes (4. ábra).

4. ábra

Ekkor

x_{1} = x_{2} = x_{3} = x

, s így a

\begin{matrix} K_{1} x + K_{2} x + K_{3} x = & G, \\ K_{1} x y_{1} + K_{2} x y_{2} + K_{3} x y_{3} = & 0 \end{matrix}

egyenletrendszer túlhatározott, fennállásához az adatok

(K_{1}, K_{2}, K_{3}, y_{1}, y_{2}, y_{3}, G)

közötti alábbi összefüggésnek kell teljesülnie:

\begin{matrix} K_{1} y_{1} + K_{2} y_{2} + K_{3} y_{3} = 0, \end{matrix}

s ha ez teljesül a fellépő rugóerők könnyen számíthatók.

Gyimesi Ferenc (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Azok a versenyzők, akik bármelyik értelmezés szerint is, de következetesen, helyesen oldották meg a feladatot, megkapták a teljes pontszámot.