Feladat:	828. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Iglói Ferenc ,  Kádas Sándor ,  Kálmos Éva ,  Mónus Ferenc ,  Véner Péter
Füzet:	1969/december, 238 - 239. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Súrlódási határszög, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/március: 828. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Tegyük fel, hogy amikor a kocsi megáll, akkor még rajta van az $m$ tömeg a belelőtt $m\text{'}$ tömegű lövedékkel együtt. Az impulzus megmaradásának törvényét felhasználva rögtön meghatározható a lövedék $v\text{'}$ sebessége. Minthogy ilyen végállapot esetén nulla lesz az összimpulzus, ezért már kezdetben is nullának kellett lennie. Mivel a lövedék impulzusa $m\text{'}v\text{'}$, az $M+m$ tömegé pedig $\left(M+m\right)v$, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(M+m\right)v+m\text{'}v\text{'}=0}\end{array}$ ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle v\text{'}=-\frac{M+m}{m\text{'}}v\mathrm{.}}\end{array}$ Az ütközés utáni pillanatban a kocsi sebessége még mindig $v$ lesz, mert a rugalmatlan ütközés az $m$ és az $m\text{'}$ tömeg között zajlik le pillanatszerűen, és a kocsi ennek hatását csak a közte és az $m+m\text{'}$ tömeg között fellépő súrlódási erőn keresztül érzékeli. Az összeragadt $m+m\text{'}$ tömeg $w$ sebességét közvetlenül az ütközés utáni pillanatban szintén az impulzus megmaradásának törvénye alapján kaphatjuk meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle mv+m\text{'}v\text{'}=\left(m+m\text{'}\right)w\mathrm{,}}\end{array}$ ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle w=\frac{M}{m+m\text{'}}v\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a jelen esetben az $S=+\mu g\left(m+m\text{'}\right)$ súrlódási erő független a súrlódó felületek sebességétől, ezért a mozgás leírását két független részfeladatra bonthatjuk. Vizsgáljuk meg először, hogy mekkora utat tesz meg a $w$ kezdősebességű $m+m\text{'}$ tömeg álló felületen, ahol persze ugyanolyan a $\mu$. Az energia megmaradásának törvénye alapján ez az út egyenlő azzal az úttal, amely alatt a mozgási energia teljesen átalakul súrlódási munkává, azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle S\cdot l_1=\frac{1}{2}\left(m+m\text{'}\right)w^2\mathrm{,}}\end{array}$ ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle l_1=\frac{1}{2\mu g}{\left(\frac{M}{m+m\text{'}}\right)}^2{v}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Az $m+m\text{'}$ tömeg lefékeződésének ideje alatt a súrlódási erő. $-S$ ellenerejének a hatására persze a kocsi is lefékeződik, de eközben maga is elmozdul. Ennek az elmozdulásnak a nagysága az előzőhöz hasonlóan az energia megmaradásának törvénye alapján határozható meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle S\cdot l_2=\frac{1}{2}M{v}^2\mathrm{,}}\end{array}$ ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle l_2=\frac{1}{2\mu g}\cdot \frac{M}{m+m\text{'}}{v}^2\mathrm{.}}\end{array}$ A kocsinak nyilvánvalóan $l_1+l_2$ hosszúnak kell lennie, mert a kocsi hátsó széle ebben az esetben fog ugyanabban a pontban megállni, ahol az $m+m\text{'}$ tömeg. Tehát a kocsi minimális hossza: $\begin{array}{c}{\displaystyle L=l_1+l_2=\frac{1}{2\mu g}\cdot \frac{M\left(M+m+m\text{'}\right)}{{\left(m+m\text{'}\right)}^2}{v}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ha a lövedék $v\text{'}$-nél kisebb sebességgel érkezik, akkor a kocsi nem fékeződik le teljesen, mert a mozgási energiája elegendő az $m+m\text{'}$ tömeg sebességének a megfordításához, és így az egész rendszer csökkent sebességgel, de együtt halad tovább.   Kálmos Éva (Hódmezővásárhely,Bethlen G. Gimn., II. o. t. )   Megjegyzés. A kocsi megállását:tetszőleges $v\text{'}$-nél nagyobb sebesség esetén is el lehet érni, ha a kocsi elég rövid, és az $m+m\text{'}$ akkor esik le róla, amikor a kocsi sebessége éppen nulla.   Kádas Sándor