Kezdőlap


Feladat:	827. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ábrahám Zoltán , Erdélyi Kinga , Frankl Péter , Iglói Ferenc , Klebniczki József , Laczkó Gábor , Németh János , Sebestyén István , Soós Lajos , Véner Péter
Füzet:	1970/január, 38 - 39. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Nyomóerő, kötélerő, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/március: 827. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A három testre külön-külön felírva a Newton-féle mozgásegyenleteket:

\begin{matrix} m g - F_{1} = m \cdot a_{1}, \end{matrix}

\begin{matrix} F_{1} - F_{2} - m \cdot g \cdot sin α = m a_{2}, \\ F_{2} = m \cdot a_{3}, \end{matrix}

ahol

F_{1}

és

F_{2}

a két kötéldarabban ébredő erők,

a_{1}

a_{2}

a_{3}

a gyorsulások. Felírhatjuk még a kötél nyújthatatlansága miatt az

a_{1} = a_{2} = a_{3}

feltételt is. Ennek figyelembevételével, összeadva a három mozgásegyenletet:

\begin{matrix} m g - m g sin α = 3 m a, ahonnan \end{matrix}

\begin{matrix} a = g \cdot \frac{1 - sin α}{3} . \end{matrix}

Visszahelyettesítve az egyenletekbe,

F_{1}

és

F_{2}

kiszámítható. Az első egyenletből

\begin{matrix} F_{1} = m g - m a = m g (1 - \frac{1 - sin α}{3}) = m g \frac{2 + sin α}{3}; \end{matrix}

a harmadikból

\begin{matrix} F_{2} = m a = m g \frac{1 - sin α}{3} . \end{matrix}

Sebestyén István (Szeged, Ságvári E. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. Mivel a kötél végig feszes a mozgás során, a három testet egyetlen rendszernek tekinthetjük, amelynek minden része azonos gyorsulással mozog. Így egy mozgásegyenletet írunk csak fel. A rendszerre a mozgás irányában

m \cdot g

, vele szemben

m \cdot g \cdot sin α

erő hat, az össztömeg

3 m

.

Tehát

\begin{matrix} a = \frac{m g - m g sin α}{3 m} = \frac{g \cdot (1 - sin α)}{3} . \end{matrix}

a

gyorsulással eső test

F_{1} = m \cdot (g - a)

erővel húzza az első kötéldarabot, ebből

F_{1}

meghatározható, mint fent. A második kötéldarabban a vízszintesen mozgó test gyorsításához szükséges

F_{2} = m \cdot a

erő lép fel.

Erdélyi Kinga (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. Gimn. II. o. t.)

III. megoldás. Az energiamegmaradás törvényéből indulunk ki. A függőlegesen mozgó test

s

úton

m g s

helyzeti energiát veszít, ez részben mozgási energiává alakul (mindhárom testnél), részben a lejtőn mozgó test helyzeti energiáját növeli

m \cdot g \cdot s \cdot sin α

értékkel:

\begin{matrix} m g s = m g sin α + \frac{3 m v^{2}}{2} . \end{matrix}

Felhasználva, hogy állandó erők hatnak, tehát a mozgás egyenletesen gyorsuló

\begin{matrix} v^{2} & = 2 a s, behelyettesítve : \\ g & = g \cdot sin α + 3 a \end{matrix}

\begin{matrix} a = g \frac{1 - sin α}{3} . \end{matrix}

Laczkó Gábor (Kalocsa, Tomori úti Gimn. és Szakközépiskola, II. o. t.)

Megjegyzés. Igen sokan az

F_{1}

kiszámításánál csak azt vették figyelembe, hogy

2 m

tömeget gyorsít, és így

2 \cdot m \cdot a

értéket kaptak.

F_{1}

-nek azonban még a lejtőn lefelé irányuló

m \cdot g \cdot sin α

erőt is le kell győznie, s ezt hozzáadva kapjuk a helyes eredményt.