Kezdőlap


Feladat:	820. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyimesi Ferenc , Sailer Kornél
Füzet:	1969/november, 184 - 186. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Nyomóerő, kötélerő, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/február: 820. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az 1. ábrán berajzoltuk a két testre ható erőket: az $m$ tömegű testre az $m g$ súlyerő és a $K$ kötélerő hat, az $M$ tömegű testre pedig az $M g$ súlyerő, a $K$ kötélerő, a talaj $F_{n}$ függőleges nyomóereje és az $S$ súrlódási erő. Jelöljük az $m$ tömeg gyorsulását $a$ -val (függőlegesen lefelé irányul), az $M$ tömegét $A$ -val (vízszintesen jobbra irányul).

1. ábra

A mozgásegyenlet az

m

tömegű testre:

\begin{matrix} m a = m g - K, \end{matrix}

(1)

M

tömegű testre komponensenként

\begin{matrix} M A = K \cdot cos α - S, & (2) \\ 0 = M g - F_{n} - K \cdot sin α . & (3) \end{matrix}

Feltételezve, hogy a súrlódási együttható nem túl nagy, azaz a testek mozgásba jönnek:

\begin{matrix} S = μ \cdot F_{n} . \end{matrix}

(4)

Egyenleteinkben öt ismeretlen van, az ötödik egyenletet a két test gyorsulása közötti összefüggés, a kényszeregyenlet adja meg, vagyis az, hogy a kötél hossza állandó. Tegyük fel, hogy az indulás után bizonyos

t

idő alatt a két test

s

, illetve

x

utat tett meg (2. ábra).

2. ábra

Vegyük fel a

C

pontot úgy, hogy

\bar{O B} = \bar{O C}

legyen. Ekkor az

A C B

szög, feltételezve, hogy az

s

út kicsi, jó közelítéssel derékszög.

A C = x

, mivel a kötél nyújthatatlan, vagyis

\begin{matrix} x = s \cdot cos α . \end{matrix}

Ebbe az

x = (1 / 2) a \cdot t^{2}

és

s = (1 / 2) A t^{2}

összefüggéseket behelyettesítve

\begin{matrix} a = A \cdot cos α . \end{matrix}

(5)

Egyenletrendszerünk most már megoldható:

\begin{matrix} A = \frac{m (cos α + μ sin α) - μ M}{m cos α (cos α + μ sin α) + M} g, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} cos α = \frac{d}{\sqrt[]{h^{2} + d^{2}}} és sin α = \frac{h}{\sqrt[]{h^{2} + d^{2}}} . \end{matrix}

Vizsgáljuk még meg, hogy mikor teljesül a (4) egyenlet, vagyis mi az elindulás feltétele! Ha az egyenletrendszerből

A < 0

adódik, akkor valójában

A = 0

és nem indul el a test,

S < μ F_{n}

.
Határesetben

\begin{matrix} A = \frac{m (cos α + μ_{0} sin α) - μ_{0} M}{m cos α (cos α + μ_{0} sin α) + M} g = 0. \end{matrix}

Kifejezve a kritikus súrlódási együttható értékét

\begin{matrix} μ_{0} = \frac{m cos α}{M - m sin α} . \end{matrix}

μ < μ_{0}

, akkor a mozgás elindul, az egyenletrendszer érvényes.
Ha

μ ≧ μ_{0}

, akkor

A = 0

.
Adatainkkal

μ_{0} = 2, 7

adódik, vagyis tetszőleges

μ < 2, 7

súrlódási együtthatóval létrejön a mozgás, nem következik be tapadás.
A tégla akkor emelkedik fel az asztalról, amikor

F_{n}

-re az egyenletrendszerből kapott érték negatív, vagyis (3)-ból:

\begin{matrix} M g < K sin α \end{matrix}

lenne. A (2) egyenletet és

A

értékét felhasználva kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin^{2} α + sin α - 1 > \frac{M}{m} . \end{matrix}

Esetünkben a tégla olyan

α_{0}

szögnél emelkedik fel, amelyre

\begin{matrix} sin^{2} α_{0} + sin α_{0} - 1 = 2 / 3. \end{matrix}

Innen (a pozitív gyök)

\begin{matrix} sin α_{0} = 0, 8845, \end{matrix}

azaz

d_{0} = h ctg α = 0, 53 m

távolságban fog a tégla felemelkedni az asztalról. (A megoldásban a tégla vastagságát

h

-hoz képest elhanyagoltuk.)

Gyimesi Ferenc (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.) és

Sailer Kornél (Ózd, József A. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. A megoldók legnagyobb része az (5) kényszeregyenletet nem írta fel jól, általában ,,

A = a cos α

'' volt a hibás alak. Igen súlyos hibák voltak még a következők:
,,A kötélerő egyenlő az

m g

súlyerővel.''
,,A rendszer gyorsulása egyenlő a mozgató erő osztva

(M + m)

-mel.'' (Newton II. törvénye közvetlenül csak tömegpontokra vagy merev testekre érvényes. Két, fonállal összekötött tégla egyik kategóriába sem tartozik. A mozgásegyenleteket két testre külön-külön kell felírni!)
A (3) és (4) egyenletek helyett hibásan ,,

S = μ M g

''.