Kezdőlap


Feladat:	818. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Petz Dénes , Szolcsányi György
Füzet:	1969/december, 232 - 233. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/február: 818. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A nyugalmi feltétel miatt a három erő vektori összege zérus, így bármely irányba eső komponenseik összege is az. Bontsuk fel $F_{2}$ -t és $F_{3}$ -at $F_{1}$ irányú és erre merőleges összetevőkre.

1. ábra

Ekkor

F_{2} sin α = F_{3} sin (180^{\circ} - β)

azaz

\begin{matrix} F_{2} sin α = F_{3} sin β, & (1) \\ és & F_{1} + F_{2} cos α = F_{3} cos (180^{\circ} - β), azaz \\ F_{1} + F_{2} cos α = - F_{3} cos β . & (2) \end{matrix}

(1)-ből

\begin{matrix} {cos}^{2} β = \frac{F_{3}^{2} - F_{2}^{2} {sin}^{2} α}{F_{3}^{2}}, \end{matrix}

(2)-t

cos β

-ra rendezve és négyzetre emelve:

\begin{matrix} \frac{F_{1}^{2}}{F_{3}^{2}} + \frac{F_{2}^{2}}{F_{3}^{2}} + {cos}^{2} α + \frac{2 F_{1} F_{2} cos α}{F_{3}^{2}} = \frac{F_{3}^{2} - F_{2}^{2} {sin}^{2} α}{F_{3}^{2}} \\ cos α = \frac{F_{3}^{2} - F_{2}^{2} - F_{1}^{2}}{2 F_{1} F_{2}} . \end{matrix}

Tehát:

\begin{matrix} cos α = \frac{1}{2} (\frac{F_{3}}{F_{1}} \cdot \frac{F_{3}}{F_{2}} - \frac{F_{1}}{F_{2}} - \frac{F_{2}}{F_{1}}) . \end{matrix}

Hasonlóan határozhatjuk meg

cos β

-t:

\begin{matrix} cos β = \frac{1}{2} (- \frac{F_{2}}{F_{1}} \cdot \frac{F_{2}}{F_{3}} + \frac{F_{3}}{F_{1}} + \frac{F_{1}}{F_{3}}) . \end{matrix}

F_{1} = 1 kp

F_{2} = 2, 5 kp

F_{3} = 3 kp

, akkor

\begin{matrix} α = 69^{\circ} 31', β = 128^{\circ} 40' . \end{matrix}

Szolcsányi György (Bp., I. István Gimn., II. o. t. )

II. megoldás. Egyensúly esetén bármelyik két erő eredője a harmadikkal egyenlő nagyságú és ellentétes irányú.

2. ábra

Ha az erők arányát ismerjük,

F_{1}

-nek,

F_{2}

-nek,

F_{3}

-nak arányos értékeket adva a cosinus tétellel kiszámíthatjuk a

180^{\circ} - α

180^{\circ} - β

szögeket.
PL.

F_{1}^{2} - F_{2}^{2} - 2 F_{1} F_{2} cos (180^{\circ} - α) = F_{3}^{2},

F_{1}^{2} - F_{2}^{2} - 2 F_{1} F_{2} cos α = F_{3}^{2},

\begin{matrix} cos α = \frac{F_{3}^{2} - F_{2}^{2} - F_{1}^{2}}{2 F_{1} F_{2}} stb . \end{matrix}

Petz Dénes (Bp., Veres Pálné Gimn., II. o. t. )