Kezdőlap


Feladat:	817. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bajmóczy Ervin , Váradi József
Füzet:	1969/november, 181 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lencserendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/január: 817. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A versenyfeladat megoldásánál közölt gondolatmenetet követve megkaphatjuk a keresett összefüggéseket. A különböző fókusztávolságok miatt azonban a számítás olyan hosszadalmas, hogy célszerű jobb jelöléseket keresnünk.
Ha a $k$ és $t$ kép-, illetve tárgytávolság helyett a $k_{0} = k - f$ módosított képtávolságot és a $t_{0} = t - f$ módosított tárgytávolságot használjuk, akkor a lencsetörvény

\begin{matrix} k_{0} t_{0} = f^{2} \end{matrix}

(1)

egyszerű alakra hozható. Jelöljük a lencsék fókuszpontjainak távolságát

a

, illetve

b

-vel (1. ábra).

Ekkor

\begin{matrix} a = d_{a} - f_{1} - f_{2}, b = d_{b} - f_{2} - f_{3} . \end{matrix}

Tekintsük változónak az első lencse által létrehozott kép és a középső lencse fókuszpontja közti

x

távolságot!
Az első lencse módosított képtávolsága

a - x

, így (1) alapján

\begin{matrix} y = \frac{f_{1}^{2}}{a - x} . \end{matrix}

A középső lencse módosított képtávolsága

f_{2}^{2} / x

, a harmadiké pedig

\begin{matrix} z = \frac{f_{3}^{2}}{b - \frac{f_{2}^{2}}{x}} . \end{matrix}

A leképezés akkor lesz minden lencseállásnál éles, ha az

\begin{matrix} A = a + b + 2 (f_{1} + f_{2} + f_{3}) + y + z \end{matrix}

(2)

kifejezés értéke független

x

-től. Ez akkor teljesül, ha az

\begin{matrix} y + z = \frac{f_{1}^{2}}{a - x} + \frac{f_{3}^{2} x}{b x - f_{2}^{2}} = \frac{f_{3}^{2} x^{2} - (f_{1}^{2} b + f_{3}^{2} a) x + f_{1}^{2} f_{2}^{2}}{b x^{2} - (a b + f_{2}^{2}) x + a f_{2}^{2}} \end{matrix}

kifejezés állandó. Ennek feltétele, hogy a számláló többszöröse legyen a nevezőnek, vagyis

x

megfelelő hatványainak együtthatói aránypárt alkossanak.

\begin{matrix} \frac{f_{1}^{2} f_{2}^{2}}{a f_{2}^{2}} & = \frac{f_{3}^{2}}{b}, ahonnan \frac{a}{b} = \frac{f_{1}^{2}}{f_{3}^{2}} . \\ \frac{f_{1}^{2} b + f_{3}^{2} a}{a b + f_{2}^{2}} & = \frac{f_{3}^{2}}{b}, rendezve b^{2} = {(\frac{f_{2} f_{2}}{f_{1}})}^{2} . \end{matrix}

Ha a fókusztávolságokat adottnak tekintjük, akkor az egyenletrendszert megoldhatjuk

a

-ra és

b

-re:

\begin{matrix} a = \pm \frac{f_{1} f_{2}}{f_{3}}, b = \pm \frac{f_{2} f_{3}}{f_{1}} . \end{matrix}

Behelyettesítve (2)-be és felhasználva, hogy

y + z = \pm \frac{f_{3} f_{1}}{f_{2}}

\begin{matrix} A = 2 (f_{1} + f_{2} + f_{3}) \pm (\frac{f_{1} f_{2}}{f_{3}} + \frac{f_{2} f_{3}}{f_{1}} + \frac{f_{3} f_{1}}{f_{2}}) . \end{matrix}

A pozitív vagy negatív előjelnek megfelelően két megoldásrendszert kaptunk. A versenyfeladatban szereplő speciális esethez hasonlóan a kép és a tárgy a lencserendszer helyzetétől függetlenül azonos nagyságú; a kép állása pozitív előjelnél egyenes, negatív előjelnél fordított. A rendszer teleszkopikus. A megoldásnak csak olyan

f_{1}

f_{2}

és

f_{3}

értékek mellett van értelme, melyeknél

d_{a}

d_{b}

és

A

pozitív mennyiségnek adódik.

Bajmóczy Ervin (Bp., Fazekas M. Gimn., II. o. t.)