Kezdőlap


Feladat:	815. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálványos Zoltán , Breuer Pál , Hegedüs Ferenc , Maróti Péter , Simon Judit , Tóth Attila
Füzet:	1969/november, 180 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Egyéb kényszermozgás, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Mozgási energia, Energia homogén gravitációs mezőben, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/január: 815. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Messük el a paraboloidot egy, a tengelyén átmenő síkkal, és vegyük fel az ábra szerinti koordináta-rendszert! A síkon való áthaladás pillanatában a golyó koordinátái legyenek $x_{1}$ és $y_{1}$ .

Ha a golyó vízszintes síkban mozog, a rá ható erők eredőjének vízszintes irányú centripetális erőt kell szolgáltatnia.
Az ábráról látható, hogy

\begin{matrix} tg α = \frac{m v^{2} / r}{m g} = \frac{v^{2}}{r \cdot g} . \end{matrix}

Felhasználható az a parabola-tulajdonság, hogy bármely pontban húzott érintő az érintési pont abszcisszájának felénél metszi a csúcsérintőt (lásd az ábrát).
Így az érintő meredeksége:

\begin{matrix} tg α = \frac{y_{1}}{x_{1} / 2} = \frac{2 y_{1}}{x_{1}} . \end{matrix}

Összevetve a két egyenletet:

\begin{matrix} \frac{2 y_{1}}{x_{1}} = \frac{v^{2}}{r \cdot g} . \end{matrix}

r

éppen egyenlő

x_{1}

-gyel, tehát

y_{1} = \frac{v^{2}}{2 g}

a keresett magasság. Az energiákra vonatkozóan, ha eredményünket

\begin{matrix} g \cdot y_{1} = v^{2} / 2 \end{matrix}

alakban írva, megszorozzuk az egyenletet

m

-mel, azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} m g y_{1} = m v^{2} / 2, \end{matrix}

vagyis a helyzeti és mozgási energia egyenlő.

Simon Judit (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., IV. o. t.)

Breuer Pál (Bp., Apáczai Csere J. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Belátható, hogy ha a forgástestet az

y = a x^{n}

függvényből származtatjuk, akkor a pálya

y_{1} = v^{2} / (n \cdot g)

magasságban van (

n

természetes szám). A keresett magasság nem függ

a

-tól. Ekkor:

\begin{matrix} n \cdot g \cdot y_{1} = v^{2} és \\ \frac{n}{2} \cdot g \cdot y_{1} \cdot m = m v^{2} / 2, \end{matrix}

tehát a mozgási energia

n / 2

-szerese a helyzeti energiának.
Pl. kúp esetén:

n = 1

y_{1} = v^{2} / g

és

W_{mozg} = (1 / 2) W_{helyz}

Bálványos Zoltán (Makó, József A. Gimn., IV. o. t.)