Kezdőlap


Feladat:	813. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörgő László , Fischer Ágnes , Horváthy Péter , Keresztúri András , Tóth József
Füzet:	1969/november, 177 - 179. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés vízszintes felületen, Csúszó súrlódás, Pillanatnyi forgástengely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1969/január: 813. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az asztallap és az eldobott golyó között sebességkülönbség van. Mivel a golyó súlya nyomja az asztalt, súrlódási erő lép fel. Ez mindaddig fennáll, amíg a golyónak az asztallal érintkező pontja és az asztal között sebességkülönbség van. Amikor ez megszűnik, akkor $r \cdot ω = v$ , ahol $r$ a golyó sugara, $ω$ a szögsebesség és $v$ a súlypont sebessége (tiszta csúszásmentes gördülés).
A fellépő súrlódási erő nagysága $S = μ m g$ , ennek forgatónyomatéka $M = μ m g r$ . A merev test mozgásának alapegyenleteit felírjuk, felhasználva, hogy a tömör homogén golyó tehetetlenségi nyomatéka $(2 / 5) m r^{2}$ :

\begin{matrix} a = S / m = μ g; v = v_{0} - a t; s = v_{0} t - (a / 2) t^{2}; \\ β = \frac{M}{I} = \frac{μ m g r}{(2 / 5) m r^{2}} = (5 / 2) μ g / r; ω = β t . \end{matrix}

A tiszta gördülés beálltának pillanatában

r \cdot ω = v

, azaz a fentiekből

\begin{matrix} t_{1} = \frac{v_{0}}{a + r β} = \frac{2}{7} \frac{v_{0}}{μ g} . \end{matrix}

Ekkor a sebesség

\begin{matrix} v_{1} = v_{0} \frac{r β}{a + r β} = (5 / 7) v_{0}, \end{matrix}

és az eddig megtett út

\begin{matrix} s_{1} = \frac{12}{49} \frac{v_{0}^{2}}{μ g} . \end{matrix}

A pillanatnyi forgástengely biztosan rajta lesz a súlyponton átmenő, az asztallapra merőleges egyenesen, hiszen a súlypont sebessége párhuzamos az asztallappal. A pillanatnyi forgástengelynek a súlyponttól való távolságát az ábrákon látható módok egyikével célszerű kiszámítani.

\begin{matrix} \frac{y}{r} = \frac{v}{r ω}, ill. \frac{v}{v - r ω} = \frac{y}{y - r} . \end{matrix}

Így

y = v / ω = (v_{0} - a t) / (β t) = \frac{2 r}{5} [\frac{v_{0}}{μ g} \frac{1}{t} - 1] .

Ezzel megkaptuk a pillanatnyi forgástengely helyének időfüggését: a súlypont

t = 0

-beli helyétől

t = t_{1}

-ig
vízszintes irányban

s = v_{0} t - a t^{2} / 2

,
függőleges irányban

y = \frac{2 r v_{0}}{5 μ g} \frac{1}{t} - \frac{2 r}{5}

(lefelé az asztallap alatt van). E fenti két egyenlet

t

-ben egy paraméteres egyenletrendszer, amiből a paramétert kiküszöbölhetjük, és akkor megkapjuk a pillanatnyi forgástengely helyének (pontosabban a súlyponttól való távolságának) a megtett úttól való függését. Ez

\begin{matrix} y (s) = [\frac{1}{1 - \sqrt[]{1 - \frac{2 μ g}{v_{0}^{2}} s}} - 1] \frac{2 r}{5}, \end{matrix}

t > t_{1}

-re pedig

s = s_{1} + v_{1} (t - t_{1})

;

y = r

Csörgő László (Jászberény, Kállai É. Gimn., III. o. t.)

Tóth József (Ózd, József A. Gimn., III. o. t.)