Kezdőlap


Feladat:	808. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Dózsa Márton , Hudoba György , Nagy András , Spitzer József , Szalai Gábor , Tél Tamás
Füzet:	1969/október, 90 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb változó áram, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/december: 808. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. a) Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor az időállandó nagyon nagy a kapcsolgatás periódusidejéhez képest.
A kapcsoló 1-es állásában a kondenzátor az $R + R_{T}$ ellenálláson keresztül elkezd feltöltődni. A kezdetben $I = U / (R + R_{T})$ nagyságú töltőáram exponenciálisan csökken, a feltételezett nagy időállandó miatt azonban az átkapcsolás pillanatáig elenyésző ez a csökkenés. Így az $R_{T}$ ellenálláson eső kezdeti $U_{0} = U \frac{R_{T}}{R + R_{T}}$ feszültség is csak nagyon lassan csökken.
A kapcsolót 2-es állásba téve a kondenzátorba betáplált töltések ellenkező irányban áramlanak át az $R_{T}$ ellenálláson, így azon $U_{0}$ feszültségugrás jön létre. Feltevésünk szerint azonban ez a negatív feszültség elhanyagolható. Az $R_{T}$ ellenálláson tehát gyakorlatilag $U_{0}$ amplitúdójú négyszögfeszültség jelenik meg (1. ábra).

1. ábra 2. ábra

b) Ha az időállandó nagyon kicsi a szaggatás periódusidejéhez képest, akkor a kondenzátor jóformán teljesen feltöltődik az

U

feszültségre, így az

R_{T}

ellenálláson kezdetben megjelenő

U_{0} = U \frac{R_{T}}{R + R_{T}}

feszültség gyorsan leesik nullára. A kapcsolót a 2-es állásba hozva a telep szerepét a kondenzátor veszi át, és pontosan ugyanaz játszódik le a fordított irányban (2. ábra).

Szalai Gábor (Bp., Piarista Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. Oldjuk meg a feladatot általánosan, amikor a

τ = (R + R_{T}) C

időállandó és a kapcsolgatási frekvencia viszonyára nem teszünk semmiféle kikötést. Tegyük fel, hogy a kapcsoló egyaránt

T

ideig van az 1-es és a 2-es állásban. (Akit érdekel a probléma, megoldhatja úgy is, hogy a

T_{1}

és a

T_{2}

különböző.)
Ha a kapcsoló 2-es állapotba való kapcsolásának pillanatában

Q^{(2)}

töltés van a kondenzátorban, akkor

t

idő múlva

\begin{matrix} q (t) = Q^{(2)} e^{- \frac{t}{τ}} \end{matrix}

(1)

lesz. A feszültsége pedig

\begin{matrix} U_{C}^{(2)} (t) = \frac{q (t)}{C} = \frac{Q^{(2)}}{C} e^{- \frac{t}{τ}} . \end{matrix}

(2)

Ha az 1-es állásba való kapcsolás pillanatában

Q^{(1)}

töltés van a kondenzátoron, akkor úgy foghatjuk fel a dolgot, hogy egyszerre két folyamat játszódik le (szuperpozíció elve), egyrészt a

Q^{(1)}

töltésű kondenzátor az (1) egyenletnek megfelelő módon kisül, másrészt az

U

feszültségű telep az

R + R_{T}

ellenálláson keresztül az exponenciális függvény szerinti árammal tölti a kondenzátort. Így az eredő töltés:

\begin{matrix} q (t) = Q^{(1)} e^{- \frac{t}{τ}} + C \cdot U [1 - e^{- \frac{t}{τ}}] \end{matrix}

(3)

és a kondenzátor feszültsége:

\begin{matrix} U_{C}^{(1)} = \frac{Q^{(1)}}{C} e^{- \frac{t}{τ}} + U [1 - e^{- \frac{t}{τ}}] . \end{matrix}

(4)

Eddig a két állásban csak általánosságban vizsgáltuk, hogy mi a helyzet akkor, ha bizonyos kezdeti töltés van a kondenzátoron, most ennek a kezdeti töltésnek (ill. feszültségnek) a pontos meghatározását tűzzük ki feladatul.
Tegyük fel, hogy a

t = 0

pillanatban a kapcsoló 1-es állásban van, és a kondenzátor töltése

Q_{0}^{(1)} = 0

, vagyis ekkor kezdődik a feltöltődés. A (3) képlet szerint

\begin{matrix} q (t) = C \cdot U [1 - e^{- \frac{t}{τ}}] . \end{matrix}

Tehát

t = T

-kor a 2-es állásba való első átkapcsolás pillanatában a kondenzátor töltése

\begin{matrix} Q_{1}^{(2)} = C U [1 - e^{- \frac{T}{τ}}] . \end{matrix}

T

idő alatt ez lecsökken

\begin{matrix} Q_{1}^{(1)} = Q_{1}^{(2)} \cdot e^{- \frac{T}{τ}} = C U [1 - e^{- \frac{T}{τ}}] \cdot e^{- \frac{T}{τ}} \end{matrix}

értékre. Vagyis az első 1-es állásba való átkapcsolás után a töltődés ennyi töltésnek a jelenlétében kezdődik. A (3) formula szerint a

T

idő alatt ebből

\begin{matrix} Q_{2}^{(2)} = Q_{1}^{(1)} e^{- \frac{T}{τ}} + C U [1 - e^{- \frac{T}{τ}}] = C U [1 - e^{- \frac{T}{τ}}] \cdot [e^{- \frac{2 (1 - 1) T}{τ}} + e^{- \frac{2 (2 - 1) T}{τ}}] \end{matrix}

lesz. Vagyis ennyi töltés kezd kisülni a második 2-es állásba való átkapcsolás pillanatában. Ebből már látszik az a szabály, hogy a

k

-adik 2-es állásba való átkapcsolás pillanatában a kondenzátor töltése:

\begin{matrix} Q_{k}^{(2)} = C U [1 - e^{- \frac{T}{τ}}] \cdot [1 + e^{- \frac{2 T}{τ}} + e^{- \frac{4 T}{τ}} {+ ... + e}^{- \frac{2 (k - 1) T}{τ}}] . \end{matrix}

A második zárójelben található mértani sort összegezve:

\begin{matrix} Q_{k}^{(2)} = C \cdot U \cdot [1 - e^{- \frac{T}{τ}}] \frac{1 - e^{- \frac{2 T}{τ} k}}{1 - e^{- \frac{2 T}{τ}}} = C \cdot U \cdot \frac{1 - e^{- \frac{2 T}{τ} k}}{1 + e^{- \frac{T}{τ}}}, \end{matrix}

ahol felhasználtuk azt,hogy

\begin{matrix} 1 - e^{- \frac{2 T}{τ}} = (1 - e^{- \frac{T}{τ}}) \cdot (1 + e^{- \frac{T}{τ}}) . \end{matrix}

Ebből egyszerűen

e^{- \frac{T}{τ}}

-val szorozva kapjuk a

k

-adik 1-es állásba való kapcsolás pillanatában a kondenzátoron levő töltést:

\begin{matrix} Q_{k}^{(1)} = C \cdot U \frac{1 - e^{- \frac{2 T}{τ} k}}{1 + e^{- \frac{T}{τ}}} e^{- \frac{T}{τ}} . \end{matrix}

Q_{k}^{(1)}

és

Q_{k}^{(2)}

kezdeti töltéseket a (2) és (4) egyenletekbe helyettesítve tetszőleges időpontban felírhatjuk a kondenzátor feszültségét. Ebből a

k

-adik 1-es állásban az

R_{T}

ellenálláson eső feszültség:

\begin{matrix} U_{T}^{(1)} {(t)}_{k} = (U - U_{C}^{(1)} {(t)}_{k}) \frac{R_{T}}{R + R_{T}} = U_{0} \frac{1 + e^{- \frac{T}{τ} (2 k + 1)}}{1 + e^{- \frac{T}{τ}}} e^{- \frac{t}{τ}}, \end{matrix}

k

-adik 2-es állásban pedig

\begin{matrix} U_{T}^{(2)} {(t)}_{k} = - U_{C}^{(2)} {(t)}_{k} \cdot \frac{R_{T}}{R + R_{T}} = - U_{0} \frac{1 - e^{- \frac{T}{τ} \cdot 2 k}}{1 + e^{- \frac{T}{τ}}} e^{- \frac{t}{τ}} . \end{matrix}

Összefoglalva tehát a

k

-adik 1-es állás elején az

R_{T}

-n eső feszültség

\begin{matrix} U_{T}^{(1)} {(t = 0)}_{k} = U_{0} \frac{1 + e^{- \frac{T}{τ} (2 k + 1)}}{1 + e^{- \frac{T}{τ}}}, \end{matrix}

(5)

amely exponenciálisan csökken az

\begin{matrix} U_{T}^{(1)} {(t = T)}_{k} = U_{0} \frac{1 + e^{- \frac{T}{τ} (2 k + 1)}}{1 + e^{- \frac{T}{τ}}} e^{- \frac{T}{τ}} \end{matrix}

(6)

értékre. A

(k + 1)

-edik 2-es állásba való kapcsoláskor

U_{0}

feszültségugrás következik be, ezért

\begin{matrix} U_{T}^{(2)} {(t = 0)}_{k + 1} = - U_{0} \frac{1 - e^{- \frac{T}{τ} 2 (k + 1)}}{1 + e^{- \frac{T}{τ}}} = U_{T}^{(1)} {(T)}_{k} - U_{0}, \end{matrix}

(7)

ez is exponenciálisan csökken az

\begin{matrix} U_{T}^{(2)} {(t = T)}_{k + 1} = - U_{0} \frac{1 - e^{- \frac{T}{τ} 2 (k + 1)}}{1 + e^{- \frac{T}{τ}}} e^{- \frac{T}{τ}} = U_{T}^{(1)} {(0)}_{k + 1} - U_{0} \end{matrix}

(8)

értékre, innen az 1-es állapotba egy újabb

U_{0}

feszültségugrással kerül.
Most vizsgáljuk a feszültséget a

T / τ

hányados függvényében; mint az kiderül, a helyzet korántsem olyan egyszerű. Külön kell választani a kis és a nagy

k

esetét.
A) Ha

k

kicsi, akkor
a) ha

τ ≫ T

(a kis

k

-n itt azt értjük, hogy még a

k T / τ ≪ 1

is teljesül, akkor az

\begin{matrix} e^{- \frac{T}{τ}} és e^{- \frac{T}{τ} (2 k + 1)} közelítőleg egy, ezért \\ U_{T}^{(1)} {(t = T)}_{k} \approx U_{0}, U_{T}^{(2)} {(t = 0)}_{k} \approx 0. \end{matrix}

b) ha

τ ≪ T

(ekkor

k

-tól eléggé független a helyzet), így az

\begin{matrix} e^{- \frac{T}{τ}} és e^{- \frac{T}{τ} 2 (k + 1)} \end{matrix}

közelítőleg nulla, ezért

\begin{matrix} U_{T}^{(1)} {(t = T)}_{k} \approx 0, U_{T}^{(2)} {(t = 0)}_{k} \approx - U_{0} . \end{matrix}

B) Ha a

k

tart a végtelenhez, akkor az (5) és (7) egyenletekből látszik, hogy egyre lejjebb tolódik az átlagos feszültségszint, de idővel beáll egy bizonyos egyensúlyi helyzet, amikor az 1-es állásban pontosan annyi töltés táplálódik be a kondenzátorba, hogy a 2-es állásbeli részleges kisülés után ugyanannyi töltés lesz benne, mint az előző töltés elején. Az (5)-től (8)-ig terjedő képletekben ez annak felel meg, hogy elhagyhatjuk a nullához tartó

e^{- \frac{2 T}{τ} k}

tagot. Tehát az egyensúlyi állapotban:

\begin{matrix} U_{T}^{(1)} {(0)}_{\infty} = U_{0} \frac{1}{1 + e^{- \frac{T}{τ}}}, U_{T}^{(1)} {(T)}_{\infty} = U_{0} \frac{1}{1 + e^{- \frac{T}{τ}}} e^{- \frac{T}{τ}} & , \\ U_{T}^{(2)} {(0)}_{\infty} = - U_{0} \frac{1}{1 + e^{- \frac{T}{τ}}}, U_{T}^{(2)} {(T)}_{\infty} = - U_{0} \frac{1}{1 + e^{- \frac{T}{τ}}} e^{- \frac{T}{τ}} & . \end{matrix}

Vagyis akármilyen a

T / τ

hányados, végeredményben mindig megegyezik az 1-es és a 2-es állapotban a feszültséggörbe alakja, csak éppen az előjelük eltérő (3. ábra).

3. ábra

Az egyes

τ

értékek esetén csak az a különbség, hogy nagy

τ

esetén közel négyszög alakú (1/2)

U_{0}

amplitúdójú, kicsi

τ

esetén pedig

U_{0}

, amplitúdójú inkább háromszög alakúnak mondható jelet kapunk (4. és 5. ábra).

4. ábra

5. ábra

Spitzer József (Bp., Vörösmarty M. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján

Dózsa Márton kiegészítésével