Kezdőlap


Feladat:	805. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bálványos Zoltán , Büttner György , Spitzer József , Szamosújvári Sándor
Füzet:	1969/május, 235 - 238. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Szabadesés, Tökéletesen rugalmas ütközések, Ütközés fallal, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/december: 805. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. a) A fallal való rugalmas ütközéskor a ferde hajítást végző golyó függőleges sebességösszetevője változatlan marad, a vízszintes pedig ellenkező irányú, de ugyanakkora lesz. Így a karikával történő első, ill. második ( $t_{1}$ , ill. $t_{2}$ időpontbeli) találkozás feltétele (1. ábra):

\begin{matrix} v_{y} (t_{1} - t_{0}) & - g {(t_{1} - t_{0})}^{2} / 2 = y_{1} - v t_{1}, \\ v_{x} (t_{1} - t_{0}) & = x_{1} - x_{0}, ill. \\ v_{y} (t_{2} - t_{0}) & - g {(t_{2} - t_{0})}^{2} / 2 = y_{1} - v t_{2}, \\ v_{x} (t_{2} - t_{0}) & = x_{1} + x_{0} . \end{matrix}

1. ábra

Az egyenleteket megoldva a sebességösszetevők:

\begin{matrix} v_{x} = \sqrt[]{g (x_{1}^{2} - x_{0}^{2}) / 2 y_{0}}, v_{y} = x_{1} \sqrt[]{2 g y_{0} / (x_{1}^{2} - x_{0}^{2})} - v, \end{matrix}

(1)

ahol

y_{0} = y_{1} - v t_{0}

a karika magassága

0 x

felett a

t_{0}

időpontban, a kilövési szög pedig

\begin{matrix} tg β = v_{y} / v_{x} . \end{matrix}

(2)

A képletekből a nyilvánvaló

x_{1} > x_{0}

-n kívül

\begin{matrix} y_{0} = y_{1} - v t_{0} > 0, tehát t_{0} < \frac{y_{1}}{v} \end{matrix}

(3)

megoldhatósági feltétel is kiolvasható. Másrészt a kívánt második találkozás csak úgy jöhet létre, ha

t_{2}

időpontig a karika nem ér földet:

y_{1} + h > v t_{2}

, felhasználva a

t_{2} = (x_{1} + x_{0}) / v_{x} + t_{0}

összefüggést és

v_{x}

kifejezését

\begin{matrix} h > v \sqrt[]{\frac{2 y_{0}}{g} \cdot \frac{x_{1} + x_{0}}{x_{1} - x_{0}}} - y_{0} . \end{matrix}

(4)

Numerikus adataink esetében a következőket kapjuk.
1. A megoldhatósági feltételek teljesülnek,

v_{x} \approx 32 cms^{- 1}

v_{y} \approx 157 cms^{- 1}

β \approx 78, 6^{\circ}

(felfelé kell lőnünk).
2.

y_{0} = 0

, végtelen nagy

v_{x}

kellene, nincs megoldás.
3. (4) nem teljesül, nincs megoldás.
b) A kétszeri találkozás feltételei most:

\begin{matrix} v_{y} (t_{1} - t_{0}) & - g {(t_{1} - t_{0})}^{2} / 2 = y_{1} - g t_{1}^{2} / 2, \\ v_{x} (t_{1} - t_{0}) & = x_{1} - x_{0}, ill. \\ v_{y} (t_{2} - t_{0}) & - g {(t_{2} - t_{0})}^{2} / 2 = y_{1} - g t_{2}^{2} / 2, \\ v_{x} (t_{2} - t_{0}) & = x_{1} + x_{0} . \end{matrix}

Az egyenletrendszer megoldása helyett egy egyszerű meggondolással könnyebben célhoz juthatunk. Mivel a golyó és a karika gyorsulása egyenlő, azért kétszeri találkozás csak úgy lehetséges, ha a függőleges sebességük és a föld feletti magasságuk is állandóan megegyezik (ui. ha pl. az első találkozáskor

v_{y} > v

, akkor az egyenlő gyorsulás miatt a golyó függőlegesen egyre jobban eltávolodik a karikától, újabb találkozás nem lehetséges), így a függőleges sebességösszetevő kilövéskor

\begin{matrix} v_{y} = g t_{0} \end{matrix}

(5)

és

\begin{matrix} y_{1} = (1 / 2) g t_{0}^{2}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} t_{0} = \sqrt[]{\frac{2 y_{1}}{g}} \end{matrix}

(6)

is szükséges.

Mint látjuk, ebben az esetben a golyót csak egyetlen, az

y_{1}

által meghatározott pillanatban indíthatjuk úgy, hogy a kétszeri találkozás létrejöjjön.
Az indítási sebesség vízszintes összetevőjére csak az ad korlátozást, hogy a második találkozásig a testek ne érjenek földet:

\begin{matrix} \frac{g}{2} {(\frac{x_{1} + x_{0}}{v_{x}} + t_{0})}^{2} < h + y_{1}; \end{matrix}

(7)

az ezt kielégítő bármilyen

v_{x}

, megfelel.
Numerikus adatainkkal egyik esetben sem teljesül a (6) feltétel, így nincs megoldás.
Szamosujvári Sándor (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., III. o. t.)

II. megoldás (2. ábra). Az a) esetben egy a

t_{0}

pillanatban elindított,

v

sebességgel lefelé haladó koordinátarendszert használunk. Ebben a karika állandóan

y_{0} = y_{1} - t_{0} v

magasan van az

x

tengely felett, a golyó mozgása itt is ferde hajítás, csak

v_{x}

v_{y} + v

sebességösszetevőkkel. A megvalósítandó feladat ebben a rendszerben: úgy kilőni a golyót, hogy odafelé és visszapattanva is átmenjen a rögzített

(x_{1} - x_{0}, y_{0})

ponton. Ez pedig nyilván csak akkor lehetséges, ha a golyó ugyanazon a pályán tér vissza, amin kilőttük (mert a visszapattanás utáni pálya tükörképe a szabad továbbrepülésnek), tehát ha az a pálya tetőpontján ütközik a falnak.

2. ábra

Ezeket a feltételeket felírva, ha a kilövési sebesség, ill. szög (a mozgó koordinátarendszerben)

v_{0}

, ill.

α

, akkor

\begin{matrix} x_{1} - x_{0} = v_{0} cos α t_{1}, y_{0} = v_{0} sin α t_{1} - g t_{1}^{2} / 2, x_{1} = v_{0}^{2} sin 2 α / 2 g . \end{matrix}

Az egyenletrendszert megoldva:

tg α = \frac{2 x_{1} y_{0}}{x_{1}^{2} - x_{0}^{2}}

\begin{matrix} v_{0} sin α = x_{1} \sqrt[]{\frac{2 g y_{0}}{x_{1}^{2} - x_{0}^{2}}}, v_{0} cos α = \sqrt[]{\frac{g}{2 y_{0}} (x_{1}^{2} - x_{0}^{2})}, \end{matrix}

és a keresett sebességösszetevők:

\begin{matrix} v_{x} = v_{0} cos α, v_{y} = v_{0} sin α - v . \end{matrix}

A megoldhatóság feltételei az első megoldáshoz hasonlóan kaphatók.
A b) esetben

t_{0}

pillanatban elejtett, szabadon eső koordinátarendszert használunk. Most a kilőtt golyó pályája egy

β

szögű egyenes, a visszapattanás után pedig a beesési merőlegesre vett tükörkép (3. ábra).

3. ábra

A karika ebben a rendszerben

g t_{0}

állandó sebességgel fog lefelé mozogni. Az állandó sebességek miatt kétszeri találkozás csak úgy lehetséges, ha a két test függőleges sebessége megegyezik:

v_{y} = g t_{0}

, s állandóan egy magasságban vannak, tehát

\begin{matrix} y_{1} = (1 / 2) g t_{0}^{2}, t_{0} = \sqrt[]{\frac{2 y_{1}}{g}} . \end{matrix}

v_{x}

-re való korlátozás pedig az előző megoldáshoz hasonlóan kapható.
Spitzer József (Bp., Vörösmarty M. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A megoldók jelentős hányada nem végezte el a numerikus számításokat, ami pedig a feladatnak nem elhanyagolható része. A másik gyakori hiba, sokan nem gondolják meg a számítási eredmények fizikai tartalmát.
2. Sok a feleslegesen bonyolult, hosszadalmas megoldás. Törekedjünk a tömörségre, s megjegyzést, kiegészítést csak akkor közöljünk, ha érdeklődésre számot tartó, tanulságos problémát vet fel. A felesleges nyújtás, érdektelen problémák tárgyalása a dolgozat értékét csökkenti.