Kezdőlap


Feladat:	803. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Angster Judit , Tóth Péter , Walthier Tamás
Füzet:	1969/szeptember, 41 - 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmas ütközések, Gördülés vízszintes felületen, Energiamegmaradás, Impulzusnyomaték (perdület) megmaradása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/december: 803. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen $m_{1}$ a kis golyó tömege, $v_{1}$ az ütközés előtti, $u_{1}$ az ütközés utáni sebessége, $m_{2}$ , $v_{2}$ , $u_{2}$ ugyanazon mennyiségek a nagy golyóra, ennek tehetetlenségi nyomatéka $I$ , szögsebessége $ω$ .

Felírhatjuk az energiamegmaradást (mivel teljesen rugalmas az ütközés):

\begin{matrix} \frac{m_{1} v_{1}^{2}}{2} = \frac{m_{1} u_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{2} u_{2}^{2}}{2} + \frac{I ω^{2}}{2} . \end{matrix}

Az utolsó tag azért lép be, mert bármely

μ_{0} \neq 0

tapadási súrlódásnál a nagy golyó ütközéskor azonnal gördülni kezd.
A súrlódási erő külső hatóerő, a két golyóra az ütközésnél nem érvényes a mozgásmennyiség-megmaradási tétel.
A külső súrlódási erőnek azonban a nagy golyó pillanatnyi forgási tengelyére az ütközés pillanatában a forgató nyomatéka nulla. Ezért az ütközésnél erre a pontra felírható az impulzus-nyomaték megmaradási tétele:

\begin{matrix} m_{1} v_{1} \cdot r = m_{1} u_{1} r + m_{2} u_{2} r + I \cdot ω . \end{matrix}

Mivel

I = (2 / 5) m_{2} r^{2}

és

r \cdot ω = u_{2}

(tökéletes gördülés), azért

\begin{matrix} m_{1} v_{1}^{2} = m_{1} u_{1}^{2} + (7 / 5) m_{2} u_{2}^{2} \end{matrix}

és

\begin{matrix} m_{1} v_{1} = m_{1} u_{1} + (7 / 5) m_{2} u_{2} . \end{matrix}

Átalakítva:

\begin{matrix} m_{1} (v_{1}^{2} - u_{1}^{2}) = (7 / 5) m_{2} u_{2}^{2}, \\ m_{1} (v_{1} - u_{1}) = (7 / 5) m_{2} u_{2} . \end{matrix}

Osszuk el egymással a két egyenletet, ekkor nyerjük:

\begin{matrix} v_{1} + u_{1} = u_{2} . \end{matrix}

Ezt beírva a második egyenletbe:

\begin{matrix} m_{1} (v_{1} - u_{1}) = (7 / 5) m_{2} (v_{1} + u_{1}) . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} u_{1} = \frac{m_{1} - (7 / 5) m_{2}}{m_{1} + (7 / 5) m_{2}} \cdot v_{1} és u_{2} = u_{1} + v_{1} . \end{matrix}

Numerikus adatokkal:

\begin{matrix} u_{1} = \frac{8 kg - (7 / 5) \cdot 28, 8 kg}{9 kg + (7 / 5) \cdot 28, 8 kg} \cdot 30 m/s = - 20, 07 m/s \end{matrix}

és

\begin{matrix} u_{2} = - 20, 07 m/s + 30 m/s = 9, 93 m/s . \end{matrix}

Walthier Tamás (Bp., Piarista Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. A nagy golyó az ütközés után a talajjal való érintkezési pont körül fordul el. Erre a pontra nézve a golyó tehetetlenségi nyomatéka (a Steiner-tételből):

\begin{matrix} I = (2 / 5) m r^{2} + m r^{2} = (7 / 5) m r^{2} . \end{matrix}

Az impulzusnyomatékot felírva:

\begin{matrix} M \cdot t = I \cdot ω, \\ F \cdot r \cdot t = (7 / 5) m r^{2} \cdot v / r, ebből F \cdot t = (7 / 5) m \cdot v, \end{matrix}

vagyis a gördülés olyan, mintha a mozgásmennyiségben a nagy golyó tömege

7 / 5

-szörösére növekedett volna.
A rugalmas ütközés két szakaszra bontható. Az első szakaszban az álló golyó felgyorsul, a mozgó lelassul, míg egy közös sebességet elérnek, közben rugalmas deformáció keletkezik rajtuk, a második szakaszban pedig eredeti alakjukat visszanyerve, szétlökődnek.
Az első szakaszra az impulzusmegmaradás elve:

\begin{matrix} m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = (m_{1} + (7 / 5) m_{2}) \cdot c, ahol v_{2} = 0. \end{matrix}

A közös sebesség

\begin{matrix} c = \frac{m_{1} v_{1}}{m_{1} + (7 / 5) m_{2}} . \end{matrix}

Ha a második szakaszban a testek teljesen visszanyerik eredeti alakjukat, az erőlökés ugyanakkora, mint az első szakaszban (tökéletesen rugalmas ütközés):

\begin{matrix} F \cdot t = m_{1} (c - u_{1}) = m_{1} (v_{1} - c), u_{1} = 2 c - v_{1}, és ugyanígy u_{2} = 2 c - v_{2} . \end{matrix}

Numerikusan:

\begin{matrix} c = \frac{8 kg \cdot 30 m/s}{8 kg + (7 / 5) \cdot 28, 8 kg} = 4, 96 m/s; \end{matrix}

és így

\begin{matrix} u_{1} & = 2 \cdot 4,96 m/s - 30 m/s = - 20, 08 m/s, \\ u_{2} & = 2 \cdot 4,96 m/s = 9, 92 m/s \end{matrix}

(v_{2} = 0)

Angster Judit (Pécs, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A feladat megoldható a súrlódás figyelmen kívül hagyásával is, ekkor a két megmaradási törvényben a forgást leíró tag zérus lesz. Így egy szokványos ütközési feladathoz jutunk, ahol

u_{1} = 16, 96 m/s

és

u_{2} = 13, 04 m/s

(1 pont). Sok feladatmegoldó kiszámította a kis golyó mozgását az ütközés után. Ez vízszintes hajítás, az egyszerűsített esetben

16, 96 m/s

kezdősebességgel. Vigyázni kell azonban, mert az esési magasság nem

20 cm

, csak a két golyó sugarának különbsége. A kis golyó sugara az

r^{3} : R^{3} = V_{1} : V_{2} = m_{1} : m_{2}

arányból számítható. (Ezt külön is értékeltük 1 ponttal.)
Sok megoldó először súrlódás nélkül számította ki a nagy golyó sebességét, és csak ezután számolt a csúszó súrlódás hatására létrejövő forgással. Az elgondolás hibája abból is kitűnik, hogy így a súrlódási együtthatótól függően néhány másodperc nagyságrendű ideig csúszna a golyó, ami lehetetlen.