Kezdőlap


Feladat:	798. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bárány Sándor , Gyimesi Ferenc , Maróti Péter , Spitzer József
Füzet:	1969/október, 87 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb gördülés (Gördülés), Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/november: 798. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A golyókra hat súlypontjukban az $m g$ súlyerő, a pályával való érintkezési pontban a pálya $F_{n}$ reakcióereje és az $F_{s}$ tapadási súrlódási erő. Ezek eredőjének érintőleges komponense adja a gyorsító erőt, sugárirányú komponense biztosítja a centripetális erőt, s az $F_{s}$ súlypontra vonatkoztatott $M = F_{s} \cdot r$ forgatónyomatéka forgatja a golyókat. Tehát:

\begin{matrix} m g sin α - F_{s} = m a, & (1) \\ m v^{2} / R = F_{n} - m g cos α, & (2) \\ F_{s} \cdot r = I \cdot β, & (3) \end{matrix}

ahol

R

a kis golyók középpontja által leírt kör sugara.

A mechanikai energiamegmaradás tétele szerint a helyzeti energia csökkenése a szerzett mozgási és forgási energia összege:

\begin{matrix} M g R (cos α - cos α_{0}) = m v^{2} / 2 + I ω^{2} / 2. \end{matrix}

(4)

A gördülés csúszásmentes, tehát

a = β r

. Homogén golyóinknál

I = (2 / 5) m r^{2}

. Ezeket felhasználva egyenleteinkből kapjuk:

\begin{matrix} F_{s} = (2 / 7) m g sin α, F_{n} = m g cos α + (10 / 7) m g (cos α - cos α_{0}) . \end{matrix}

M

tömegű testre az

M g

súlyerőn kívül a golyók az

F_{s}

és

F_{n}

erők ellenerőivel, az alatta levő síklap pedig az

F

reakcióerővel hat. A szimmetrikus elhelyezkedés miatt a golyók erőhatásának vízszintes összetevői közömbösítik egymást, a függőlegesek pedig összeadódnak, tehát

M

nyugalmi helyzete esetén az alapot nyomó erő

\begin{matrix} F = M g + 2 (F_{n} cos α + F_{s} sin α) . \end{matrix}

Ide behelyettesítve

F_{s}

és

F_{n}

már megkapott értékét, felhasználva

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

-et:

\begin{matrix} F = (2 / 7) m g [2 + 5 cos α (3 cos α - 2 cos α_{0})] + M g . \end{matrix}

Látjuk, a nyomóerő

α

-val növekszik, mint az várható is volt.
A nyomóerő méréséhez olyan eszköz kell, amely egyrészt nagyon kis elmozdulással tud mérni (ez azért kell, mivel

M

gyorsulása meghamisítaná az eredményt), másrészt kicsi a tehetetlensége, gyorsan reagál a változásra. Ennek lehetséges megvalósításai:
1. piezoelektromos kristály, amelynél a nyomás hatására fellépő feszültséget mérni kell;
2. erős rugóból készült erőmérő, melynek elmozdulása nagyon kicsi, s ez a kis elmozdulás pl. kondenzátorlemezek távolságát változtatja, ami rezgőkört hangol el.
A golyók mozgása közben változó nyomóerő követése megfelelő regisztráló szerkezettel történhet, pl. forgó hengerre írószerkezettel történő kiírás, film stb.

Gyimesi Ferenc (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.)

dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A csúszásmentes gördülés feltétele:

\begin{matrix} μ \geq \frac{F_{s}}{F_{n}} = \frac{(2 / 7) m g sin α}{(m g / 7) [17 cos α - 10 cos α_{0}]} = \frac{2 sin α}{17 cos α - 10 cos α_{0}} . \end{matrix}

α

csökkenésével a súrlódási együttható minimális értéke is csökken, tehát kiinduláskor a legnagyobb:

(2 / 7) tg α_{0}

. Ezért akkor csúszásmentes mindvégig a gördülés, ha

μ \geq (2 / 7) tg α_{0}

Maróti Péter (Szeged, Ságvári E. Gimn., IV. o. t.)

2. Azt az érdekes eredményt nyertük, hogy a nyomóerő független a golyók és a pálya sugarától.
3. Sok versenyző nem vette figyelembe, hogy a helyzeti energia nemcsak mozgási, hanem forgási energiává is alakul, s egy-két kivétellel senki nem vette számításba a tapadó súrlódásból származó erő alaplapot nyomó összetevőjét.