Kezdőlap


Feladat:	794. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Antal Miklós , Gyimesi Ferenc , Láz József , Sailer Kornél
Füzet:	1969/április, 183 - 185. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabad tengely körüli forgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/november: 794. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. a) A $BC$ rúd pillanatnyi forgástengelye a rúd két végpontjának sebességvektorára emelt merőlegesek metszéspontja (1. ábra).

1. ábra

Mivel

B

pont sebessége merőleges a sugárra,

C

pont pedig

AD

-n mozog, tehát

r

meghosszabbításának és az

AC

-re

C

-ben emelt merőlegesnek a metszéspontja lesz a keresett pont

(0)

.
b) Legyen

\bar{B C}

szögsebessége

ω_{0}

B

sebessége az

A

körüli forgásból:

\begin{matrix} v_{B} = r \cdot ω, \end{matrix}

0

körüli forgásból, az 1. ábra szerint:

\begin{matrix} v_{B} = \bar{O B} \cdot ω_{0} . \end{matrix}

A kettőből:

\begin{matrix} ω_{0} = \frac{r}{\bar{O B}} \cdot ω . \end{matrix}

(1)

A párhuzamos szelők tétele alapján

\begin{matrix} \frac{r}{\bar{O B}} = \frac{\bar{A T}}{T C} = \frac{r \cdot cos α}{\sqrt[]{l^{2} - r^{2} \cdot {sin}^{2} α}} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} ω_{0} = \frac{r \cdot ω \cdot cos α}{\sqrt[]{l^{2} - r^{2} \cdot {sin}^{2} α}}, \end{matrix}

c) Legyen

C

sebessége

v

.
Az

0

körüli forgás miatt:

\begin{matrix} v = \bar{O C} \cdot ω_{0}, \end{matrix}

(1)

-et felhasználva

\begin{matrix} v = \frac{\bar{O C} \cdot r \cdot ω}{\bar{O B}} = \frac{\bar{O A} \cdot sin α \cdot r \cdot ω}{\bar{O B}} . \end{matrix}

A párhuzamos szelők tétele szerint:

\begin{matrix} \frac{\bar{O A}}{\bar{O B}} = \frac{\bar{C A}}{\bar{C T}} = \frac{\bar{C T} + \bar{T A}}{\bar{C T}} = 1 + \frac{\bar{T A}}{\bar{C T}} = 1 + \frac{r \cdot cos α}{\sqrt[]{l^{2} - r^{2} \cdot {sin}^{2} α}} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} v = (1 + \frac{r \cdot cos α}{\sqrt[]{l^{2} - r^{2} \cdot {sin}^{2} α}} .) \cdot r \cdot sin α \cdot ω . \end{matrix}

Antal Miklós (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., III. o. t. ) megoldása alapján

II. megoldás. Mivel a közölt ábra és a szöveg

α

megadásában ellentmondó volt, a feladatot úgy is megoldjuk, hogy az ábrán jelölt

α

függvényében fejezzük ki a kérdéses adatokat. (Mindkét megoldást helyesnek fogadtuk el.)
Ebben a megoldásban (2. ábra) az a) kérdésre adott válasz egyezik az. előzővel.

2. ábra

b) Az előzőekkel megegyezően:

\begin{matrix} ω_{0} = \frac{r}{\bar{O B}} \cdot ω . \end{matrix}

(1)

A 2. ábra szerint, ha

α < 90^{\circ} :

\begin{matrix} \frac{r}{\bar{O B}} = \frac{\bar{A T}}{\bar{T C}} = \frac{\sqrt[]{r^{2} - l^{2} \cdot {sin}^{2} α}}{l \cdot cos α} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} ω_{0} = \frac{\sqrt[]{r^{2} - l^{2} \cdot {sin}^{2} α}}{l \cdot cos α} \cdot ω \end{matrix}

c) A

C

pont sebessége ismét:

\begin{matrix} v = \bar{O C} \cdot ω_{0} = \frac{\bar{O C} \cdot r \cdot ω}{\bar{O B}} . \end{matrix}

Az ábrából

\begin{matrix} \frac{\bar{O C}}{\bar{B T}} = \frac{\bar{C A}}{\bar{T A}} és \frac{r}{\bar{O B}} = \frac{\bar{A T}}{\bar{C T}} . \end{matrix}

Összeszorozva

\begin{matrix} \frac{\bar{O C}}{\bar{O B}} = \frac{\bar{C A} \cdot \bar{B T}}{r \cdot \bar{C T}} = \frac{(\bar{C T} + \bar{T A}) \cdot \bar{B T}}{\bar{C T} \cdot r} = (1 + \frac{\sqrt[]{r^{2} - l^{2} \cdot {sin}^{2} α}}{l \cdot cos α}) \cdot \frac{l \cdot sin α}{r} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} v = (l \cdot sin α + tg α \sqrt[]{r^{2} - l^{2} \cdot {sin}^{2} α}) \cdot ω . \end{matrix}

Láz József (Bp., Eötvös J. Gimn., III. o. t.) megoldása alapján

Megjegyzés. 1. Az utóbbi megoldásnál, ha

B

II. és III. negyedben van, a négyzetgyökös tag előjelét negatívnak kell venni, mert

A B C Δ

tompaszögű.
2. A két eredmény egymásba átalakítható, mert a sinus-tétel szerint

\begin{matrix} l : r = sin (B A C ∢) : sin (B C A ∢) . \end{matrix}

Gyimesi Ferenc (Győr, Révai G., M. o. t.) és Sailer Kornél (Ózd, József A. G., III.. o. t.) a szögnegyedek szerinti diszkussziót, illetve a pillanatnyi forgástengely egyenletét is megadta megoldásában (1 pont).