Kezdőlap


Feladat:	793. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Frankl Péter , Gál Péter , Nagy Zsuzsa
Füzet:	1969/április, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Egyéb sajátos módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/november: 793. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Írjuk fel az egyensúly feltételét külön-külön az I. és a II. ajtószárnyra! Az I. ajtószárny egyik pontja rögzített, így az erre a pontra számított forgatónyomatékokra vonatkozó feltételt célszerű felírnunk (lásd az ábrát):

\begin{matrix} M - M_{1} - M_{2} - k P_{y} cos α - k P_{x} sin α = 0. \end{matrix}

A II. ajtószárny esetén (a súlypontra felírva)

\begin{matrix} M_{2} + \frac{1}{2} k P_{x} sin α - \frac{1}{2} k P_{y} cos α + \frac{1}{2} k P_{s} sin α - \frac{1}{2} k P'_{y} cos α = 0 \end{matrix}

a forgatónyomatékokra adódó feltétel. Az erők egyensúlyára pedig

\begin{matrix} P_{y} = P'_{y}; P_{x} = P_{s} \end{matrix}

(az egyenletek az abszolút értékekre vonatkoznak). A fenti egyenletekből

\begin{matrix} M = M_{1} + 2 M_{2} + 2 k P_{s} sin α . \end{matrix}

II. megoldás. A feladatot a virtuális munka elvével oldjuk meg. Az ajtót kicsiny

Δ α

szöggel elforgatva a munkavégzés

W = M \cdot Δ α

. Ez a munkavégzés egyenlő a súrlódási erők és forgatónyomatékok munkájával. Ezek:

W_{1} = M_{1} Δ α; W_{2} = 2 M_{2} Δ α

, mert a két ajtószárny közötti szög

2 Δ α

-val változik meg; a II. ajtószárny szabad vége

\begin{matrix} Δ s = 2 k [cos α - cos (α - Δ α)] = 2 k [cos α (1 - cos Δ α) + sin α sin Δ α] \end{matrix}

hosszon mozdul el.

Δ α

kicsiny volta miatt

\begin{matrix} Δ s \approx 2 k Δ α sin α, \end{matrix}

hiszen

\begin{matrix} sin α sin Δ α \approx Δ α sin α, \\ 1 - cos Δ α = cos 0 - cos Δ α = cos (\frac{Δ α}{2} - \frac{Δ α}{2}) - cos (\frac{Δ α}{2} + \frac{Δ α}{2}) = \\ = 2 sin \frac{Δ α}{2} sin \frac{Δ α}{2}, \end{matrix}

ennek

cos α

-val alkotott szorzata az előbbihez képest elhanyagolható, ha

Δ α

kicsiny. Így

\begin{matrix} W_{3} = P_{s} Δ s = (2 k P_{s} sin α) Δ α, \\ W = W_{1} + W_{2} + W_{3}, \end{matrix}

ahonnan behelyettesítve és

Δ α

-val egyszerűsítve azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} M = M_{1} + 2 M_{2} + 2 k P_{s} sin α . \end{matrix}

Frankl Péter (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., II. o. t. )
Gál Péter (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., I. o. t. )
Nagy Zsuzsa (Bp., Kaffka M. Gimn. II. o. t. )

Megjegyzés. A megoldók többsége az I. típusú megoldást választotta és bele is bukott; akik viszont a másodikat választották, helyes eredményre jutottak. Ez érthető, hiszen az I. megoldásban a mechanikai rendszert (a csuklós ajtót) két részre kellett szétvágni és a köztük ható erőket és forgatónyomatékokat pontosan számbavenni, míg a II. megoldásban a kettévágással járó buktatók fel sem merültek, hisz a rendszert mint egészet tekintettük.