Kezdőlap


Feladat:	790. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Háy György
Füzet:	1969/április, 179 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés lejtőn, Pillanatnyi forgástengely, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/október: 790. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor a fonalak a tengelyt az alsó pontján hagyják el. A tengelynek az a pontja ( $O$ pont), ahol a fonál elhagyja a tengelyt, a kényszerfeltétel miatt nem képes mozogni, tehát ez a pillanatnyi forgástengely. Ebből látszik, hogy a test lefelé irányuló mozgásánál a lejtőt érintő pontja a lejtőn felfelé mozog, tehát a mozgást fékező súrlódási erő, $S$ a lejtőn lefelé irányul.

Legyen a henger tehetetlenségi nyomatéka a súlypontjára vonatkoztatva

I

. Steiner tételéből következik, hogy a tehetetlenségi nyomaték az

O

pontra vonatkoztatva

I + m r^{2}

.
A hengerre a két kötél

2 F

, a lejtő a lejtőre merőlegesen

K

, a lejtővel párhuzamosan

S

súrlódó erővel, végül a gravitáció

m g

erővel hat. Ezen erők irányát az ábrán tüntettük fel. Felírjuk a Newton egyenleteket a lejtővel párhuzamos és rá merőleges koordinátákkal, továbbá a forgómozgás egyenletét. Legyen a test súlypontjának gyorsulása

a

, és a szöggyorsulása

β

, akkor

\begin{matrix} m a = m g sin α + S - 2 F; \\ 0 = m g cos α - K; \\ (I + m r^{2}) β = m g r sin α - S (R - r) . \end{matrix}

A szöggyorsulás nem függ attól, hogy milyen vonatkoztatási ponthoz viszonyítjuk, tehát ez az értéke a súlypontra vonatkozólag is.
Vizsgáljuk meg, mi a feltétele annak, hogy a rendszer állva maradjon. Ekkor

a = 0

, és

β = 0

. A 3. egyenletből következik, hogy

\begin{matrix} S = \frac{m g r sin α}{R - r} . \end{matrix}

A 2. egyenletből a nyomóerőre kapjuk, hogy

\begin{matrix} K = m g cos α . \end{matrix}

Az egyensúlyhoz az szükséges, hogy

S ≦ μ K

teljesüljön. A rendszer tehát akkor nem lehet nyugalomban, ha

\begin{matrix} μ m g cos α < m g \frac{r}{R - r} sin α; így a \\ μ < \frac{r}{R - r} tg α \end{matrix}

egyenlőtlenség adja meg az indulás feltételét.
Végezzük el a számolást, ha a rendszer gyorsul. Ekkor a súrlódási erő

K μ

, és a kötél által létesített kényszer miatt

r β = a

. Így a szöggyorsulás az előbbiekhez hasonló meggondolások alapján

\begin{matrix} β = \frac{m g [r sin α - μ (R - r) cos α]}{I + m r^{2}}, \end{matrix}

és a gyorsulás

\begin{matrix} a = \frac{m g r [r sin α - μ (R - r) cos α]}{I + m r^{2}} . \end{matrix}

Az egyenletekből kiszámítva a

(2 F)

kötélerőt:

\begin{matrix} F = \frac{m g}{2} [sin α + μ cos α - \frac{m r [r sin α - μ (R - r) cos α]}{I + m r^{2}}] \end{matrix}

adódik.
Ha a tengely felső végéhez van rögzítve a kötél, akkor a kiindulási egyenletek hasonlóak, de figyelembe kell venni, hogy a súrlódási erő a lejtőn felfelé irányul:

\begin{matrix} m a = m g sin α - S - F; \\ 0 = m g cos α - K; \\ (I + m r^{2}) β = - m g r sin α + S (R + r) . \end{matrix}

Így az előbbihez hasonlóan a megindulás feltétele

\begin{matrix} μ < \frac{r}{R + r} tg α, \end{matrix}

és a gyorsulás, a szöggyorsulás, ill. a kötélerő

\begin{matrix} a = \frac{m g r [r sin α - μ (R + r) cos α]}{I + m r^{2}}, \\ β = - \frac{m g [r sin α - μ (R + r) cos α]}{I + m r^{2}}, \\ F = \frac{m g}{2} [sin α - μ cos α - \frac{m r [r sin α - μ (R + r) cos α]}{I + m r^{2}}] . \end{matrix}

Háy György (Budapest, Eötvös J. G., IV. o. t.)