Kezdőlap


Feladat:	789. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balásházy László , Fáykiss István , Kormos Dénes , Maróti Péter , Simon Judit
Füzet:	1969/március, 141 - 142. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Fizikai inga, Steiner-tétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/október: 789. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A testre a következő erők hatnak: az $F$ erő, a súlypontban a súlyerő $(G)$ és az $O$ pontban a reakcióerő (1. ábra).

1. ábra

Írjuk fel a forgatónyomatékok egyensúlyát az

O

pontra vonatkoztatva:

\begin{matrix} G \cdot z - F \cdot a = 0, \end{matrix}

(a reakcióerő forgatónyomatéka nulla).

z

-vel jelöltük a gerendák találkozási pontjának és a súlypontnak a távolságát. Kiszámításához meg kell adnunk a két gerenda súlyát külön-külön. Ha feltételezzük, hogy a gerendák homogének, akkor a gerendák súlya arányos a hosszúságukkal:

\begin{matrix} G_{1} = G \cdot \frac{a}{a + b}, G_{2} = G \frac{b}{a + b} \end{matrix}

(

G_{1}

a

G_{2}

b

hosszúságú gerenda súlya). Behelyettesítve

\begin{matrix} G_{1} = 12 kp \approx 120 N, G_{2} = 18 kp \approx 180 N . \end{matrix}

Így a

z

érték a

\begin{matrix} z G_{1} = (\frac{b}{2} - z) G_{2} \end{matrix}

egyenletből

z = 1, 8

m. Behelyettesítve az (1) egyenletbe

\begin{matrix} F = G \frac{z}{a} = 13, 5 kp . \end{matrix}

A szerkezet lengésidejéhez (fizikai inga) ismernünk kell a súlypont és az

O

pont távolságát:

\begin{matrix} s = \sqrt[]{{(\frac{a}{2})}^{2} + z^{2}} = 2, 69 m, \end{matrix}

és a tehetetlenségi nyomatékot (

I

).
A szerkezet tehetetlenségi nyomatéka a két gerenda tehetetlenségi nyomatékának összege

\begin{matrix} I = I_{1} + I_{2} . \end{matrix}

Az ismert összefüggés szerint (

g \approx 10 {m/s}^{2}

)

\begin{matrix} I_{1} = \frac{1}{3} \frac{G_{1}}{g} a^{2} = 64 {kgm}^{2} \\ I_{2} = \frac{1}{12} \frac{G_{2}}{g} b^{2} + \frac{G_{2}}{g} [{(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2}] = 288 {kgm}^{2} . \end{matrix}

(A Steiner-tételt l. K. M. L. XXIX. köt. 225. old., 31. köt. 225. old.)

Így

\begin{matrix} I = 352 {kgm}^{2} . \end{matrix}

A lengésidő tehát kis kitérések esetén

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{I}{g s}} = 4, 19 s . \end{matrix}

Simon Judit (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. A tehetetlenségi nyomatékot kielégítő pontossággal a Steiner tétel ismerete nélkül, közelítőleg is meghatározhatjuk.
Osszük fel a

b

hosszúságú gerendát

10

egyenlő súlyú részre a 2. ábrán látható módon, és mindegyik rész tömegét gondolatban egyesítsük a súlypontjában.

2. ábra

Definíció szerint

\begin{matrix} I_{2} = \frac{G_{2}}{10 g} [({(\frac{a}{2})}^{2} + {(0, 3 m)}^{2}) + ({(\frac{a}{2})}^{2} + {(0, 9 m)}^{2}) + ({(\frac{a}{2})}^{2} + {(1, 5 m)}^{2}) + \\ + ({(\frac{a}{2})}^{2} + {(2,1 m)}^{2}) + ({(\frac{a}{2})}^{2} + {(2, 7 m)}^{2}) + ({(\frac{a}{a})}^{2} + {(3, 3 m)}^{2}) + ({(\frac{a}{2})}^{2} + {(3, 9 m)}^{2}) + \\ + ({(\frac{a}{2})}^{2} + {(4, 5 m)}^{2}) + ({(\frac{a}{2})}^{2} + {(5, 1 m)}^{2}) + ({(\frac{a}{2})}^{2} + {(5, 7 m)}^{2})] = 287, 6 {kgm}^{2} . \end{matrix}

(Eredményünk jó közelítéssel egyezik a Steiner-tétellel kapott eredménnyel.) Innen azonos periódus-idő adódik.

Kormos Dénes (Eger, Dobó I. Gimn., IV. o. t.)