Kezdőlap


Feladat:	785. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csordás József , Kerekes János , Mihály György , Pál Jenő , Peregi Zsolt , Pongrácz Ferenc , Romsics László , Solymosi József , Terlaky Edit
Füzet:	1969/március, 137 - 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Csúszó súrlódás, Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/október: 785. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A lejtőn a testre ható súrlódási erő $μ m g cos α$ , így a súrlódás ellen végzett munka $μ m g cos α \cdot s$ . A mechanikai energia csökkenése egyenlő a súrlódás ellen végzett munkával:

\begin{matrix} (1 / 2) m v_{0}^{2} - (1 / 2) m v_{1}^{2} - m g (s_{1} + s_{2}) sin α = (μ_{1} s_{1} + μ_{2} s_{2}) m g cos α . \end{matrix}

Mivel

sin α = h / l

cos α = \sqrt[]{l^{2} - h^{2}} / l

-lel, az utolsó szakaszra lépés sebessége:

\begin{matrix} v_{1} = \sqrt[]{v_{0}^{2} - \frac{2 g}{l} [(s_{1} + s_{2}) h + (μ_{1} s_{1} + μ_{2} s_{2}) \sqrt[]{l^{2} - h^{2}}]} . \end{matrix}

Ha ezen a test

s_{3}

út megtétele után megáll, akkor

\begin{matrix} (1 / 2) m v_{1}^{2} - m g s_{3} sin α = m g μ_{1} s_{3} cos α, s innen \\ s_{3} = \frac{v_{1}^{2}}{2 g (sin α + μ_{1} cos α)} = \frac{l v_{1}^{2}}{2 g (h + μ_{1} \sqrt[]{l^{2} - h^{2}})} . \end{matrix}

s_{3} > l - (s_{1} + s_{2})

, akkor a test elhagyja a lejtőt. Numerikus adataink esetén ez következik be, ui.

\begin{matrix} v_{1} = 6, 7 {ms}^{- 1}, s_{3} \approx 7 m-t kapunk . \end{matrix}

A lejtőről lerepülve a test ferde hajítást szenved, s a földbe való becsapódásakor helyzeti energiája ugyanaz, mint a lejtőn való indításkor, így mozgási energiája csak a súrlódási munkával csökken:

\begin{matrix} (1 / 2) m v_{0}^{2} - (1 / 2) m v_{1}^{2} = [(l - s_{2}) μ_{1} + s_{2} μ_{2}] m g cos α, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} cos α = \frac{\sqrt[]{l^{2} - h^{2}}}{l} -lel a földetérés sebessége: \\ v = \sqrt[]{v_{0}^{2} - \frac{2 g \sqrt[]{l^{2} - h^{2}}}{l} [μ_{1} (l - s_{2}) + μ_{2} s_{2}]}, \end{matrix}

adatainkkal

v \approx 6, 8 {m/s}^{- 1}

Pongrácz Ferenc (Hódmezővásárhely, Bethlen G. Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. Megoldható a feladat az energiamegmaradás elvének felhasználása nélkül is. A lejtőn felfelé mozgó test (negatív) gyorsulása:

a = - g (sin α + μ cos α)

, így az egyes szakaszokra:

\begin{matrix} v_{0} t_{1} - g (sin α + μ_{1} cos α) t_{1}^{2} / 2 = s_{1}, v_{1} = v_{0} - g (sin α + μ_{1} cos α) t_{1}, \\ v_{1} t_{2} - g (sin α + μ_{2} cos α) t_{2}^{2} / 2 = s_{2}, v_{2} = v_{1} - g (sin α + μ_{2} cos α) t_{2}, \\ v_{2} t_{3} - g (sin α + μ_{1} cos α) t_{3}^{2} / 2 = l - (s_{1} + s_{2}), v_{3} = v_{2} - g (sin α + μ_{1} cos α) t_{3} . \end{matrix}

Ezek az egyenletek sorra megoldhatók, s adatainkkal:

\begin{matrix} v_{2} \approx 6, 7 {m/s}^{- 1}, v_{3} \approx 6, 5 {m/s}^{- 1} . \end{matrix}

A test a lejtőről lerepülve

v_{3} sin α

v_{3} cos α

sebességösszetevőkkel ferde hajítást szenved, melyre

v_{3} sin α t_{4} - (1 / 2) g t_{4}^{2} = h

és a becsapódási sebesség függőleges összetevője

v_{4} = v_{3} sin α - g t_{4}

, a teljes sebesség pedig:

v = \sqrt[]{{(v_{3} cos α)}^{2} + v_{4}^{2}}

, adatainkkal

v \approx 6, 8 {m/s}^{- 1}

Terlaky Edit (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzések. 1. A megoldások összevetéséből látható, hogy az energiamegmaradás elvének felhasználása mennyit egyszerűsít a problémán.
2. Sokan tévesen a lejtőn való mozgásnál a

v = \sqrt[]{2 a s}

, mások a hajításnál a

h = g t^{2} / 2

képletet használták, nem törődve azzal, hogy ezek csak zérus kezdősebesség esetén érvényesek.
3. Sok versenyző nem vette tudomásul, hogy a numerikus adatok azért vannak megadva, hogy az eredményt azokkal is kiszámítsák. Ez már csak azért is fontos, mert az adatoktól függően különböző lefolyású lehet a mozgás. Az ilyen mulasztás pontveszteséget jelent.