Kezdőlap


Feladat:	777. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Ferenc , Peti Erzsébet , Szamosújvári Sándor , Thurnher Kálmán
Füzet:	1969/február, 91 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pillanatnyi forgástengely, Geometriai szerkesztések alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/szeptember: 777. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A pillanatnyi forgástengelyből húzzunk merőlegest a rúdra vagy annak meghosszabbítására. Legyen ezen szakasz hossza $l$ . A rúd egy tetszőleges $P$ pontjának a forgáscentrumtól való távolsága $l' = l / cos α$ , ahol $α$ az $l$ és $l'$ hosszúságú szakaszok által bezárt szög.

1. ábra

Legyen a pillanatnyi szögsebesség

ω

. A

P

pont sebessége merőleges lesz az

l'

szakaszra, és nagysága

\begin{matrix} v' = ω l' = ω \cdot l / cos α . \end{matrix}

A sebességvektor rúdirányú komponense

\begin{matrix} v_{r} = v' \cdot cos α = ω \cdot l, \end{matrix}

független a

P

pont helyétől.
Mérjük fel a sebességvektorokat egy

B

pontból kiindulva. Mivel mindegyik sebességvektor rúdirányú vetülete azonos

(ω \cdot l)

, a vektorok végpontjai a rúdra merőleges egyenesen fekszenek.

Peti Erzsébet (Budapest, Radnóti M. Gyak. Gimn., III. o. t.)

II.megoldás. A pillanatnyi forgástengelyből a test két pontjához húzott egyenesek ugyanolyan szöget zárnak be, mint a két pont sebessége (merőleges szárú szögek). A távolságok aránya pedig megegyezik a hozzájuk tartozó sebességvektorok arányával. Ez azt jelenti, hogy a

2 a

és

2 b

ábra hasonló alakzatokat ábrázol, melyek egymáshoz képest

90^{\circ}

-kal el vannak forgatva.

2. ábra

Így megkaptuk az I. megoldás eredményét.

Thurnher Kálmán (Budapest, Radnóti M. Gyak. Gimn., III. o. t.)

III.megoldás. A merev rúd mozgása folyamán bármely két pontjának távolsága azonos marad, így a két pont rúdirányú sebességeinek is azonosnak kell lennie. Innen a megoldás azonos az I. megoldással.

Szamosújvári Sándor (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., III. o. t.)

IV. megoldás. Legyen a rúd egyik

P

pontjához a pillanatnyi forgáscentrumból húzott vektor

\vec{r}

, és legyen

\vec{k}

a rúddal párhuzamos vektor.

3. ábra

Ekkor egy tetszőleges

P'

pont helyvektorát

\begin{matrix} \vec{r'} = \vec{r} + λ \vec{k} \end{matrix}

alakban írhatjuk fel (

λ

paraméter).
Dózsa Márton cikke (K. M. L. 33. kötet, 159. oldal) alapján a

P'

pont sebessége

\begin{matrix} \vec{v'} = \vec{r'} \times \vec{ω} = (\vec{r} + λ \vec{k}) \times \vec{ω} = \vec{r} \times \vec{ω} + λ \cdot \vec{k} \times \vec{ω} . \end{matrix}

Tekintve, hogy az

\vec{r} \times \vec{ω}

és a

\vec{k} \times \vec{ω}

vektorok állandóak, a fenti egyenlet egy egyenes paraméteres vektoregyenlete ‐ az állítást bebizonyítottuk.

Szamosújvári Sándor (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. A megoldásokban hallgatólagosan feltételeztük, hogy a pillanatnyi forgástengelyre merőleges síkban van a rúd. A tétel általánosan is érvényes, bizonyítása nem különbözik lényegesen a fentiektől.

Kovács Ferenc (Nagykanizsa, Landler J. g., III. o. t.)