Kezdőlap


Feladat:	764. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Maróti Péter
Füzet:	1969/január, 39 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb áramköri rezonancia, Vektordiagramok, Egyéb váltóáramú ellenállás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/április: 764. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Induktív és kapacitív ellenállásokat tartalmazó kör esetén a Kirchhoff-törvényt vektoriális alakban kell felírni. Minthogy az induktív ágban a feszültség siet, a kapacitív ágban pedig késik, létezik olyan eset, amikor az eredő ágban a fázisszög zérus (pl. két induktív ág esetében ez csak a triviális $L_{1} = L_{2} = 0$ esetben teljesül).

Ennek feltétele az ábra szerint

\begin{matrix} I_{1} sin φ_{1} = I_{2} sin φ_{2} . \end{matrix}

(1)

Tudjuk, hogy

\begin{matrix} sin φ_{1} = \frac{X_{L}}{\sqrt[]{R^{2} + X_{L}^{2}}}, sin φ_{2} = \frac{X_{C}}{\sqrt[]{R^{2} + X_{C}^{2}}}, \end{matrix}

(2)

továbbá

\begin{matrix} I_{1} = \frac{U}{\sqrt[]{R^{2} + X_{L}^{2}}}, I_{2} = \frac{U}{\sqrt[]{R^{2} + X_{C}^{2}}} . \end{matrix}

(3)

Ezt (1)-be helyettesítve, rendezve

\begin{matrix} (R^{2} - X_{L} X_{C}) (X_{L} - X_{C}) = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} a) R = \sqrt[]{X_{L} X_{C}} = \sqrt[]{L / C}, b) X_{L} = X_{C}, ω = \frac{1}{\sqrt[]{L C}} . \end{matrix}

Szintén az ábra alapján számíthatjuk ki az eredő áramot:

\begin{matrix} I = I_{1} \cdot cos φ_{1} + I_{2} \cdot cos φ_{2}, \end{matrix}

ahová a (2)-höz hasonló

\begin{matrix} cos φ_{1} = \frac{R}{\sqrt[]{R^{2} + X_{L}^{2}}}, c o s φ_{2} = \frac{R}{\sqrt[]{R^{2} + X_{C}^{2}}} \end{matrix}

és a (3) összefüggéseket behelyettesítve és rendezve a következőt kapjuk:

\begin{matrix} I = U R (\frac{1}{R^{2} + X_{L}^{2}} + \frac{1}{R^{2} + X_{C}^{2}}) . \end{matrix}

Az eredő impedancia:

\begin{matrix} Z = \frac{U}{I} = \frac{1}{\frac{R}{R^{2} + X_{L}^{2}} + \frac{R}{R^{2} + X_{C}^{2}}} . \end{matrix}

Behelyettesítve az a) esetnek megfelelő

R = \sqrt[]{X_{L} X_{C}}

, illetve a b) esetnek megfelelő

X_{L} = X_{C}

összefüggéseket, a következő végeredményeket kapjuk:

\begin{matrix} a) Z = R, b) Z = \frac{R}{2} + \frac{L}{2 R C} . \end{matrix}

Maróti Péter (Szeged, Ságvári E. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján