Kezdőlap


Feladat:	761. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyimesi Ferenc
Füzet:	1968/december, 237. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/április: 761. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ábrán berajzoltuk azokat az erőket, melyek a két rúdra hatnak.

A csuklóknál ható erő nagysága és iránya ismeretlen, de ezen két ismeretlen helyett bevezettük az erők vízszintes és függőleges vetületét (

F_{1}

F_{2}

, ill.

F_{3}

F_{4}

erőket). A vízszintes kötelet feszítő erőt

K

-val jelöltük. Írjuk fel az egyensúly feltételeit külön-külön a két rúdra.
1. A testre ható erők eredője nulla:
a) az erők vízszintes komponenseinek eredője nulla:

\begin{matrix} K - F_{3} = 0, K - F_{1} = 0; \end{matrix}

b) az erők függőleges komponenseinek eredője nulla:

\begin{matrix} R + G - F_{4} = 0, Q + G - F_{2} = 0. \end{matrix}

2. A testre ható erők forgatónyomatékainak összege nulla (válasszuk vonatkoztatási pontnak a két csuklót), így

l

-lel egyszerűsítve:

\begin{matrix} K sin α - R cos α - \frac{1}{2} G cos α = 0, \\ K sin β - Q cos β - \frac{1}{2} G cos β = 0. \end{matrix}

A most felírt hat egyenletből álló egyenletrendszerben éppen hat ismeretlen van:

K

R

F_{1}

F_{2}

F_{3}

F_{4}

. Az egyenletrendszer megoldása:

\begin{matrix} K = (Q + \frac{1}{2} G) ctg β = 173 kp, R = (Q + \frac{1}{2} G) \frac{ctg β}{ctg α} - \frac{1}{2} G = 143 kp, \\ F_{1} = K = 173 kp, F_{2} = Q + G = 130 kp, F_{3} = K = 173 kp, F_{4} = R + G = 203 kp . \end{matrix}

R

súlynak tehát 143 kp-nak kell lennie, és a kötelet ekkor 173 kp erő feszíti. A csuklóban fellépő erők nagyságát Pythagoras tételével kaphatjuk meg. A bal oldali csuklónál ható, erő:

\begin{matrix} \sqrt[]{F_{3}^{2} + F_{4}^{2}} = 267 kp, \end{matrix}

a jobb oldalinál

\begin{matrix} \sqrt[]{F_{1}^{2} + F_{2}^{2}} = 217 kp . \end{matrix}

Az erők irányát az ábrán bejelölt

γ

és

δ

szögek határozzák meg:

\begin{matrix} tg γ = F_{4} / F_{3} = 1, 18, tg δ = F_{2} / F_{1} = 0, 753. \end{matrix}

Innen

γ = 49, 7^{\circ}

és

δ = 36, 9^{\circ}

.
Ha a rudak felső végeire csigákat szerelünk, és egy kötelet alkalmazunk, az előző két egyenlethez két új egyenlet csatlakozik:

\begin{matrix} R = K és Q = K . \end{matrix}

A két egyenletrendszer ellentmondásos lesz, az egyensúly semmilyen

R

értéknél sem áll fenn, a rudak le fognak esni a földre. Hogy egyensúlyt találjunk, még két mennyiséget ismeretlennek kellene tekinteni, és alkalmasan megválasztani pl.

Q

-t és

G

-t.

Gyimesi Ferenc (Győr, Révai M. g. II. o. t.)

Megjegyzés. A feladat eredeti szövege és ábrája között ellentmondás volt. A dolgozatok értékelését nem befolyásolta az, hogy a megoldó

β = 30^{\circ}

-kal, vagy az ábráról valószínűnek látszó

β = 60^{\circ}

értékkel számolt.