Feladat: 760. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Fischer Ágnes ,  Mihály György 
Füzet: 1968/december, 236 - 237. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1968/április: 760. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a 10 és 8 kg-os tömegű M, ill. m test gyorsulása a1, ill. a2 (1. ábra).

 

 

1. ábra
 

A két gyorsulás legyen úgy irányítva, hogy a1 az M tömeg lefelé gyorsulásakor, a2 az m felfelé gyorsulásakor pozitív. A kötélben ható erőt nevezzük K-nak. Ezekkel a feltevésekkel kihasználtuk a rendszer szimmetriáját, mivel ugyanazon betűvel jelöltük a jobb és bal oldal mennyiségeit, és felhasználtuk, hogy az m tömegű test csak függőleges irányban mozdul el. Newton II. törvényét alkalmazva a két szélső tömegre
Ma1=Mg-K,(1)
és a középső tömegre
-ma2=mg-2Kcosα.(2)
A még szükséges harmadik egyenlet felállításához azt a kényszerfeltételt kell felhasználni, hogy a kötél hossza mozgás közben nem változik (2. ábra).
 

 

2. ábra
 

A M tömegek s1 lefelé való elmozdulása esetén az m tömeg s2-vel mozdul függőlegesen felfelé. Az elmozdulás következtében a 6 m hosszú kötél s1-gyel megrövidül, és így s2 abból határozható meg, hogy az m tömegű test mindkét csigától 6m-s1 távolságra van. Ha csak kicsi elmozdulást tekintünk, akkor a keletkezett ABC háromszög derékszögű. Ebből a háromszögből s1=s2cosα adódik, ahol α a 6 m-es kötélnek a függőlegessel bezárt szöge. Mivel s1 és s2 kicsi, ezeken a szakaszokon a gyorsulás még egyenletesnek vehető, tehát
a12l2=a22t2cosα,a1=a2cosα.(3)
Ennek a háromismeretlenes (K, a1, a2) egyenletrendszernek megoldása a1 és a2-re
a1=2Mcosα-m2Mcos2α+mcosαg;a2=2Mcosα-m2Mcos2α+mg.
Számértékekkel, mivel
cosα=62-526=0,55,a1=1,2m/s2,a2=2,1m/s2.



 Mihály György (Bp., Kölcsey F. g. II. o. t.) dolgozata alapján
 

Megjegyzés. A dolgozatok többségében a (3) kényszerfeltételt adták meg hibásan. Nem abból a tényből indultak ki, hogy a kötél hossza állandó, hanem helytelenül feltették, hogy a 8 kg tömegű test gyorsulása a másik két kötél gyorsulásának vektori eredője.