Kezdőlap


Feladat:	754. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sailer Kornél , Somhegyi Tamás , Varga László
Füzet:	1968/december, 231 - 232. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes körmozgás, Hangsebesség, Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/március: 754. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A találkozásig a hang útja

\begin{matrix} s_{1} = \sqrt[]{r^{2} + (r^{2} / 4) \pm 2 r (r / 2) cos α} = v_{1} t, \end{matrix}

(1)

az autó útja pedig

\begin{matrix} s_{2} = r \cdot α = v_{2} t, \end{matrix}

(2)

ahol

α

az autó útjához tartozó középponti szög radiánban;

r

a pálya sugara,

v_{1}

a hang sebessége,

v_{2}

az autóé. Az (1) egyenletben a negatív előjel akkor érvényes, ha a hangforrás a kör középpontja és az autó között van, a pozitív előjel pedig akkor, ha a középpont ellenkező oldalán.
Az (1) és (2) egyenleteket egymással elosztva, majd négyzetre emelve,

α

-ra az

\begin{matrix} 5 / 4 \pm cos α = {(v_{1} / v_{2})}^{2} α^{2} \end{matrix}

(3)

egyenletet kapjuk.
A (2) egyenletből

α

-t (3)-ba helyettesítve, a kapott egyenletet grafikusan megoldhatjuk, és

t

-re a hangforrás helyétől függően

1, 01

s, ill.

2, 98

s értékeket kapunk.
A (3) egyenletet másképpen is megoldhatjuk. Használjuk fel, hogy kicsi

α

-ra

\begin{matrix} cos α = 1 - 2 sin^{2} \frac{α}{2} \approx 1 - 2 \cdot {(\frac{α}{2})}^{2} = 1 - \frac{α^{2}}{2} . \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} α = \sqrt[]{\frac{\frac{5}{4} \pm 1}{{(\frac{v_{1}}{v_{2}})}^{2} \pm \frac{1}{2}}}, t = r \sqrt[]{\frac{\frac{5}{4} \pm 1}{v_{1}^{2} \pm \frac{v_{2}^{2}}{2}}} \end{matrix}

A számértékekkel

1, 01

és

2, 98

s-ot kapunk.

Varga László (Zalaegerszeg, Ságvári E. g. III. o. t.)