Kezdőlap


Feladat:	753. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bálványos Zoltán , Végvári István
Füzet:	1968/december, 230 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Egyenletesen változó mozgás (Változó mozgás), Kizárásos módszer (lehetőségek számbavétele), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/március: 753. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A 8 adat közül a feladat megoldásához csak 3 szükséges. Ugyanis a feladat első részét, az egyenletesen gyorsuló mozgást két adat meghatározza. A mozgás második részéhez is 2 kellene, de ezek egyikét már az első részből megkapjuk. Így összesen 3 adat szükséges.
8 adatból 3 adatot (sorrendtől függetlenül) 56-féle módon választhatunk ki. Ugyanis általában az $n$ elemből kiválasztható $k$ -elemű kombinációk számát a kombinatorika így adja meg:

\begin{matrix} (\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!} . \end{matrix}

A jelen esetben

\begin{matrix} (\binom{8}{3}) = \frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5)} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{2 \cdot 3} = 56. \end{matrix}

De ki kell zárnunk azokat a kombinációkat, amelyek fizikai okból nem szerepelhetnek. 7 ilyen eset van, amikor 2 megadásából már következik a harmadik adat:

\begin{matrix} \begin{matrix} t_{1} t_{2} ta v s_{1} \\ s_{1} s_{2} sa t_{1} v \\ a t_{1} s_{1}v t_{2} s_{2} \\ v t_{1} s_{1} \end{matrix} \end{matrix}

Ezeket levonva marad 49 lehetséges feladat.

Végvári István (Esztergom, I. István g. III. o. t.)

II. megoldás. Készítsük el a mozgás sebesség-idő grafikonját (l. az ábrát).

Ennek

O S

egyenese az egyenletesen gyorsuló mozgáshoz,

S R

egyenese az egyenletes mozgáshoz tartozik. A mozgás adataiból következik, hogy

O P = t_{1}

tg P O S ∢ = a

S P = Q R = v

, az

O P S

háromszög területe

s_{1}

S R = P Q = t_{2}

, a

P Q R S

téglalap területe

s_{2}

, valamint

t_{1} + t_{2} = t = O Q

és

s_{1} + s_{2} = s

. Kérdés, hogy hány adat határozza meg ezt a trapézt?
Az

O P S

derékszögű háromszöget 2 adat meghatározza, ezután

P Q R S

téglalapot további 1 adat határozza meg, hiszen

P S = Q R = v

már meg van adva. Ez minden más összeállításban is igaz, tehát 3 adat szükséges.
Az adatokat következőképp csoportosíthatjuk:

O P S

háromszöghöz tartozók:

a

t_{1}

s_{1}

v

;

P Q R S

téglalaphoz tartozók:

t_{2}

s_{2}

v

;
Mindkettőhöz tartozók:

t

s

.
Ebből a 8 adatból úgy kell 3 adatot kiemelni, hogy nem tartozhat mind a 3 egy csoportba. Ilyen tiltott eset az első csoportból 4, a második csoportból 1 fordul elő. Ezen kívül természetesen tilos a

t_{1}

t_{2}

t

és az

s_{1}

s_{2}

s

csoportosítás. Ezeket levonva az 56 összesen lehetséges esetből:

56 - 4 - 1 - 2 = 49

esetet találunk.

Bálványos Zoltán (Makó, József A. g. III. o. t.)