Kezdőlap


Feladat:	748. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szentmiklósi László
Füzet:	1968/november, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Szabadesés, Szinkron-műhold (szinkronpálya), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/február: 748. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az Egyenlítőn leejtett testnek a gyorsulása az égitest középpontja felé két gyorsulás összege. Az egyik a sugár megváltozása által bekövetkező gyorsulás $(g)$ , a másik a centripetális gyorsulás $(ω^{2} r)$ , mivel a tengelykörüli forgás miatt a test körmozgást is végez. Newton II. törvénye szerint a tömeg és a gyorsulás szorzata

\begin{matrix} m (g + ω^{2} r) = f \frac{M m}{| r^{2} |}, \end{matrix}

(1)

a gravitációs erő, ahol

M

a bolygó tömege,

f

a gravitációs állandó,

r

a bolygó sugara,

ω

a bolygó tengely körüli keringésének körfrekvenciája.
Mivel

h

magasságból

t

idő alatt ér le egy leejtett test

\begin{matrix} h = \frac{g}{2} t^{2} . \end{matrix}

(2)

Írjuk fel az

R

sugárral és

T

keringési idővel rendelkező

m

tömegű holdra Newton II. törvényét:

\begin{matrix} m' {(\frac{2 π}{T})}^{2} R = f_{3} \frac{M m'}{R^{2}} . \end{matrix}

(3)

Az (1), (2) és (3) egyenletből meghatározhatjuk a bolygó saját tengely körüli forgásának periódusidejét, de célszerűbb a vele egyenértékű körfrekvencia négyzetét kiszámítani.
Az (1) és (2) egyenletből

\begin{matrix} \frac{2 h}{t^{2}} + ω^{2} r = f \frac{M}{r^{2}}, \end{matrix}

és ebbe helyettesítjük be a (3) egyenletből kiszámított

f M

-et

\begin{matrix} ω^{2} = {(\frac{2 π}{T})}^{2} {(\frac{R}{r})}^{3} - \frac{2 h}{r t^{2}} . \end{matrix}

Ilyen körfrekvenciával keringő bolygó sugara legyen

ϱ

, akkor (3) felhasználásával

\begin{matrix} m'' ϱ ω^{2} = f \frac{M m''}{ϱ^{2}}, \end{matrix}

\begin{matrix} ϱ^{3} = \frac{f M}{{(\frac{2 π}{T})}^{2} {(\frac{R}{r})}^{2} - \frac{2 h}{r t^{2}}}, ϱ = R \frac{1}{\sqrt[3]{{(\frac{R}{r})}^{3} - (\frac{2 h}{r}) {(\frac{T}{2 π t})}^{2}}} . \end{matrix}

Behelyettesítve a számértékeket,

\begin{matrix} \frac{R}{r} = \frac{3}{4} \cdot 10^{2}, \frac{2 h}{r} = 26 \cdot 10^{- 6}; \frac{T}{2 π t} = \frac{10^{6}}{8}, így \\ ϱ = 3 \cdot 10^{5} km \frac{1}{\sqrt[3]{\frac{27}{4^{3}} \cdot 10^{6} - (26 \cdot 10^{- 6}) \frac{10^{12}}{8^{2}}}} = 12 000 km . \end{matrix}

Szentmiklósi László (Kiskunhalas, Szilády Á. g. III. o. t.)