Kezdőlap


Feladat:	741. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Balogh G. , Csernai László , Horváthy Péter , Kálmán P. , Kótai E. , Sághy A. , Takács László
Füzet:	1968/október, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rögzített tengely körüli forgás (Merev testek mozgásegyenletei), Harmonikus rezgőmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1968/január: 741. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat megoldását az a) eset tárgyalásával kezdjük. A b) esetre hasonló módszereket lehet alkalmazni, ezért ott csak az analóg egyenletek felsorolására szorítkozunk.

Amikor a rúd egyensúlyban van, a rá ható erők és forgatónyomatékok összege nulla. Ha a rudat kimozdítjuk a pozitív forgásirányba

φ

szöggel, akkor a forgómozgás egyenlete a csuklóra mint tengelyre vonatkoztatva

\begin{matrix} I β = - k_{1} l^{2} φ - k_{2} {(\frac{l}{2})}^{2} φ \end{matrix}

(1)

alakú. Itt

I

jelenti a rúd végpontjára vonatkoztatott (1/3)

m l^{2}

tehetetlenségi nyomatékét, és

β

a szöggyorsulást. Ha a csapban az ábra szerinti

F

erő hat, akkor a tömegközéppont tételét alkalmazva az

\begin{matrix} m \frac{l}{2} β = F - k_{2} \frac{l}{2} φ + k_{1} l φ \end{matrix}

(2)

egyenletet kapjuk. A kényszerfeltételt azáltal használtuk ki, hogy a tömegközéppont gyorsulása

\frac{l}{2} β

.
Az 1. egyenletet átalakítva a

\begin{matrix} β = - \frac{(k_{1} + \frac{k_{2}}{4}) l^{2} φ}{I} \end{matrix}

(3)

egyenlethez jutunk. Összehasonlítva a rezgőmozgás egyenletével, láthatjuk, hogy

\begin{matrix} ω^{2} = \frac{(k_{1} + k_{2} / 4) l^{2}}{I} = \frac{3 (k_{1} + k_{2} / 4)}{m}, \end{matrix}

vagyis a rezgésidő

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{m}{3 (k_{1} + k_{2} / 4)}} \end{matrix}

A mozgás időbeni változását a

φ = φ_{0} sin ω t

összefüggés adja meg.
A csuklóban ébredő erőt a 2. egyenlet határozza meg.

\begin{matrix} F = m \frac{l}{2} β + k_{2} \frac{l}{2} φ + k_{1} l φ . \end{matrix}

Hogy ne szerepeljen külön a szöggyorsulás és a kitérés is, a 3. egyenlet segítségével a szöggyorsulást kiejtjük. Ily módon megkapjuk az erő

\begin{matrix} F = - m \frac{l}{2} \frac{3 (k_{1} + k_{2} / 4)}{m} φ + k_{2} \frac{l}{2} φ = l (- \frac{1}{2} k_{1} + \frac{1}{8} k_{2}) φ_{0} sin ω t \end{matrix}

alakú időtől való függését.
A 2. egyenletben nem vettük figyelembe, hogy a nyugalmi állapotban a rugók már feszült állapotban vannak. Ez az egyenletben csak a rúd tömegétől, és a rugók nyugalmi megfeszítésétől függő, de időtől független erőjárulékot ad az

F

-ben.
A b) esetben az előző megoldás menetét követve a megfelelő egyenlet a forgatónyomatékokra:

\begin{matrix} I β = - k_{1} {(\frac{l}{2})}^{2} φ - k_{2} {(\frac{l}{2})}^{2} φ . \end{matrix}

Itt

I

a rúdnak a középpontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka, azaz

\frac{1}{12} m l^{2}

Ezekből az egyenletekből a frekvenciára és a lengésidőre az

\begin{matrix} ω^{2} = \frac{k_{1} + k_{2}}{3 m} és T = 2 π \sqrt[]{\frac{3 m}{k_{1} + k_{2}}} kifejezést kapjuk . \end{matrix}

Mivel ebben az esetben a tömegközéppont nem mozog, a tömegközéppont tétele

\begin{matrix} 0 = F - k_{1} \frac{l}{2} φ + k_{2} \frac{l}{2} φ . \end{matrix}

Ebből az egyenletből határozható meg az alátámasztási pontban ébredő kényszererő.

\begin{matrix} F = (k_{1} - k_{2}) \frac{l}{2} φ = (k_{1} - k_{2}) \frac{l}{2} φ_{0} sin ω t . \end{matrix}

Takács László (Sopron, Széchenyi I. g. IV. o. t.)