Kezdőlap


Feladat:	732. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Padányi Zoltán , Varga László
Füzet:	1968/szeptember, 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés vízszintes felületen, Steiner-tétel, Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/december: 732. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a hengerek tömege külön-külön $m$ , rádiuszuk $r$ , a gerenda tömege $M$ , a súrlódási együttható $μ$ , a húzóerő $F$ . Az $A$ pontokban együttvéve $μ (2 m + M) g$ súrlódási erő képes a hengereket a földhöz tapasztani. Számadataink szerint ez nagyobb, mint $F / 2$ , tehát a hengerek az $A$ pontokban tapadnak és a $B$ pontokban súrlódnak. (L. az ábrát.)

Az állandó húzóerő a hengerek középpontjainak

a

gyorsulással végbemenő egyenletesen gyorsuló mozgását okozza. Az

A

pont körül történő forgás szöggyorsulása

a / r

. A forgatónyomatékot a húzóerő és a

B

pontokban fellépő súrlódási erők forgatónyomatékainak a különbsége adja meg:

\begin{matrix} F r - 2 r μ M g . (A súrlódási erő erőkarja 2 r .) \end{matrix}

A hengerek együttes tehetetlenségi nyomatéka, mivel a forgástengely a középponttól

r

távolságnyira van (Steiner tétele):

\begin{matrix} 2 \cdot (\frac{1}{2} m r^{2} + m r^{2}) = 3 m r^{2} . \end{matrix}

A szöggyorsulás egyenlő a forgatónyomaték és tehetetlenségi nyomaték hányadosával:

\begin{matrix} \frac{a}{r} = \frac{F r - 2 r μ M g}{3 m r^{2}} . \end{matrix}

Innen a csapágyak gyorsulása:

\begin{matrix} a = \frac{F - 2 μ M g}{3 m} . \end{matrix}

(1)

Eredményünk független a hengerek rádiuszától.Számadatainkkal

F = 20 kp=196 newton

μ = 0, 05

M g = 100 kp=980 newton

m = 80 kg

és így

a = 0, 4083 {m / s}^{2}

. A sebesség

2 s

múlva

v = a t = 0, 8167 m/s

Padányi Zoltán (Bp., Apáczai Csere J. g. III. o.t.)

II. megoldás. Az energiamegmaradás törvénye szerint a húzóerő munkavégzése egyenlő a hengerek létrejövő mozgási energiájának és a súrlódási erő ellen végzett munkának az összegével. A húzóerő munkavégzése

F s = F a t^{2} / 2

.

A két henger mozgási energiája a haladó mozgás folytán:

\begin{matrix} 2 \cdot \frac{m v^{2}}{2} = m {(a t)}^{2} . \end{matrix}

A két henger mozgási energiája a forgás következtében (

I

tehetetlenségi nyomaték most

m r^{2} / 2

, a szögsebesség

ω = v / r = a t / r

\begin{matrix} 2 \cdot \frac{I ω^{2}}{2} = I ω^{2} = \frac{m r^{2}}{2} \cdot \frac{{(a t)}^{2}}{r^{2}} = \frac{m {(a t)}^{2}}{2} . \end{matrix}

A súrlódási erő

μ M g

. Az

A

pontban nem végzünk munkát a súrlódási erő ellen, csak a

B

-ben. Itt azonban kétszer akkora az út, mint a csapágyaknál:

2 \cdot a t^{2} / 2 = a t^{2}

. A súrlódási erő elleni munkavégzés:

\begin{matrix} μ M g a t^{2} . \end{matrix}

Felírjuk az energiamegmaradás törvénye alapján:

\begin{matrix} \frac{F a t^{2}}{2} = m {(a t)}^{2} + \frac{m {(a t)}^{2}}{2} + μ M g a t^{2} . \end{matrix}

Ezt rendezve kapjuk az (1) szerinti eredményt.

Varga László (Zalaegerszeg, Ságvári E. g. III. o. t.)