Kezdőlap


Feladat:	731. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Maróti Péter
Füzet:	1968/szeptember, 42 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes mozgás (Egyenes vonalú mozgások), Függőleges hajítás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/december: 731. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A léggömb magassága az elejtés pillanatában $x$ méter. Ábránk a léggömb, a bomba és a hang megtett útjait mutatja mint az idő függvényét.

A bomba függőleges lefelé hajítást végez

v_{1}

kezdősebességgel, amelynek útja:

\begin{matrix} x = v_{1} t_{1} + g t_{1}^{2} / 2, \end{matrix}

innen a bomba leesésének

t_{1}

ideje:

\begin{matrix} t_{1} = \frac{- v_{1} + \sqrt[]{v_{1}^{2} + 2 g x}}{g}; \end{matrix}

csak a pozitív előjelű gyöknek van értelme.
A hang menetideje a robbanástól az észlelésig

t_{2}

. A léggömb összesen

t_{1} + t_{2}

ideig emelkedik, ezalatt

x + v_{2} (t_{1} + t_{2})

magasságba emelkedik. Ez egyenlő a hang

t_{2}

idő alatt megtett

c t_{2}

útjával:

\begin{matrix} c t_{2} = x + v_{2} (t_{1} + t_{2}) . \end{matrix}

Innen a hang

t_{2}

menetideje:

\begin{matrix} t_{2} = \frac{x + v_{2} t_{1}}{c - v_{2}} . \end{matrix}

A léggömb utasai által megfigyelt idő

t = t_{1} + t_{2}

és felhasználva

t_{1}

és

t_{2}

-re kapott eredményeinket:

\begin{matrix} t = \frac{- v_{1} + \sqrt[]{v_{1}^{2} + 2 g x}}{g} + \frac{x}{c - v_{2}} + \frac{v_{2}}{c - v_{2}} \cdot \frac{- v_{1} + \sqrt[]{v_{1}^{2} + 2 g x}}{g} . \end{matrix}

Ebből az egyenletből kell az ismeretlen

x

-et kiszámítani. Egyenletünk rendezve:

\begin{matrix} c \sqrt[]{v_{1}^{2} + 2 g x} = g (c - v_{2}) t + v_{1} c - g x . \end{matrix}

Bevezetjük a következő rövidítő jelölést:

\begin{matrix} S = g (c - v_{2}) t + v_{1} c, \end{matrix}

ezzel az egyenlet:

\begin{matrix} c \sqrt[]{v_{1}^{2} + 2 g x} = S - g x . \end{matrix}

Négyzetre emelés, rendezés után:

\begin{matrix} g^{2} x^{2} - 2 g (S + c^{2}) x + S^{2} - c^{2} v_{1}^{2} = 0. \end{matrix}

Ennek megoldása:

\begin{matrix} x = \frac{S + c^{2} + c \sqrt[]{v_{1}^{2} + 2 S + c^{2}}}{g} . \end{matrix}

(Ismét csak a pozitív előjelnek van fizikai értelme.) A numerikus kiszámításnál a gyökvonást nagy pontossággal kell elvégezni, mert különben az eredmény igen pontatlan. Számadatainkkal

S = 42567, 8288

és

\begin{matrix} x = \frac{151467, 8288 - 145444, 2}{9, 8} m=\frac{6023, 6288}{9, 8} m=614,656 m. \end{matrix}

Látható, mennyire lényeges a gyök értékének pontos ismerete, hiszen két nagy, de közel egyenlő szám különbsége szerepel. A többi adat:

t_{1} = 9, 8 s

t_{2} = 2, 22705 s

, a léggömb magassága a bomba leérkezésekor 712,656 m és a hang megérkezésekor 734,9265 m, a hang útja 734,9265 m.