A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. Megoldás. Foglalkozzunk először az általános esettel.
1. ábra Az 1. ábrán látható koordináta-rendszerben az egyes betűk súlypontjának koordinátái a következők: Az I betű súlypontja a magasság felében lesz: . A két T betűre | | adódik. (A függőleges és vízszintes szárból álló egész test súlypontját a két szár súlypontjának koordinátáiból számoltuk ki. A két T betűnek mint egy testnek súlypontja a fenti két adatból könnyen kapható, a magasság ugyanaz, a ,,súlyok'' egyenlők, ezért az koordináták számtani középarányosa lesz a súlypont abszcisszája: Az súlypontú test tömege egység, a súlypontúé pedig egység. Az egész test súlypontja az szakaszon van és azt a tömegekkel fordított arányban osztja. Így koordinátáira a következő értékek adódnak: | |
Az első kérdésre az helyettesítéssel kapjuk a választ: Az súlypont pályájának egyenletét úgy kapjuk meg, ha és kifejezéséből kiküszöböljük az paramétert: Megvizsgálva két speciális esetet: , azaz esetén , ekkor csak a T betűk vízszintes szára marad meg. Ha értékét egyre növeljük, értéke is felé tart. Tehát , nullához közeledik, ezért a fenti törtkifejezés reciprokát tekintve ‐ az tart -hoz. Így ‐ annak nevezője korlátos lévén ‐ a számlálója is tart -hoz. Tehát , azaz . A súlypont tehát egyre közeledik az első T betű szárához. A növekvő súlyú függőleges szárak egyre növekvő mértékben hatnak a súlypont helyzetére. Lakatos Éva (Bp., VIII., Százados úti g. II. o. t.) II. megoldás. Vegyünk fel egy derékszögű koordináta-rendszert a 2. ábrán látható módon.
2. ábra A betűket alkotó egyes egyenesszakaszok koordinátái . A súlypont koordinátáit az egyes elemek súlypont-koordinátáinak súlyozott átlaga adja. Egy-egy betűszár fél hosszát és teljes súlyát egységnyinek tekintjük.
Így a tömegekkel súlyozott átlag | | Hasonlóan Ha a függőleges szárakat -szeresre növeljük, akkor
Ha , akkor , . Ha nő, akkor monoton csökken, monoton növekszik. Ha , akkor és . A súlypont pályájának egyenlete kiküszöbölése után A pálya egyenlete egy egyenes egyenlete és csak az előbb meghatározott és esetén felvett () és pontok között értelmezhető. Horváthy Péter (Bp., Fazekas M. g. II. o. t.) Megjegyzés. Az első pillanatban furcsának tűnhet, hogy egyszerű koordináta-rendszer eltolás miatta pálya hiperbolából egyenessé alakul. Figyeljük meg azonban, hogy az első megoldásbeli koordináta-rendszerhez viszonyítva a második megoldásbeli koordináta-rendszer mozog, ha változik, a függőleges szárak súlypontjával együtt. Hiperbolikus, de más alakú pályaegyenletet kapunk, ha a T betűk vízszintes szárához rögzítjük az tengelyt, mint az például Gyimesi Ferenc (Győr, Révai M. g. II. o. t.) megoldásában található (3. ábra):
3. ábra |