Kezdőlap


Feladat:	698. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Battha László
Füzet:	1968/március, 134 - 135. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feszültségmérés (voltmérő), Ellenállások párhuzamos kapcsolása, Egyéb Ohm-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/május: 698. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először áttekinthetőbb ábrát készítünk és bevezetjük az $r = r_{1} + r_{2}$ jelölést.

2. ábra

r

ellenállásnak és a voltmérő belső ellenállásának párhuzamos eredője

\begin{matrix} \frac{r R_{V}}{r + R_{V}} . \end{matrix}

Az egész áram (ami a telepből folyik)

\begin{matrix} I = \frac{U}{(2 R - r) + \frac{r \cdot R_{V}}{r + R_{V}}} \end{matrix}

(a nevező az egész kör eredő ellenállása).
A műszer által mért feszültség:

\begin{matrix} U' = I \frac{r R_{V}}{r + R_{V}} = U \frac{1}{1 + \frac{r + R_{V}}{r \cdot R_{V}} (2 R - r)} . \end{matrix}

Az igen nagy belső ellenállású voltmérőn mért feszültség nyilván

\begin{matrix} U_{0}' = U \frac{r}{2 R} . \end{matrix}

Teljesülnie kell minden

r

értékre, hogy az

U'

relatív eltérése

U'_{0}

-tól kisebb legyen, mint

ε

\begin{matrix} \frac{U'_{0} - U'}{U'_{0}} < ε . \end{matrix}

Behelyettesítve

\begin{matrix} 1 - \frac{2 R R_{V}}{- r^{2} + 2 R r + 2 R R_{V}} < ε, \end{matrix}

vagyis (a nevező pozitív, mivel

r \leq 2 R

)

\begin{matrix} (1 - ε) (- r^{2} + 2 R r + R R_{V}) < 2 R R_{V} . \end{matrix}

R_{V}

-t kifejezve:

\begin{matrix} R_{V} > \frac{1 - ε}{ε} \cdot \frac{2 R r - r^{2}}{2 R} . \end{matrix}

Ennek az egyenlőtlenségnek

r

minden

0

és

2 R

közé eső értékére teljesülnie kell. Látható a

2 R r - r^{2} = R^{2} - {(R - r)}^{2}

átalakítással, hogy a jobb oldal akkor a legnagyobb, ha

r = R

. Tehát

\begin{matrix} R_{V} > \frac{1}{2} R \cdot \frac{1 - ε}{ε} \end{matrix}

(Ha

ε ≪ 1

, akkor az

R_{V} > \frac{R}{2 ε}

megkötés adódik.)
Behelyettesítve a számértékeinket:

\begin{matrix} R_{V} > 50 k Ω . \end{matrix}

Battha László (Bp. Eötvös J. g. IV. o. t.) dolgozata alapján