Kezdőlap


Feladat:	693. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Maróti Péter , Szörényi András , Tél Tamás
Füzet:	1968/március, 131 - 132. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/május: 693. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az indulás után $t_{0} = 2$ s idő múlva mind a puskagolyónak, mind a kocsinak $v_{0} = a \cdot t_{0} = g \cdot sin α \cdot t_{0}$ lejtőirányú sebessége van. A mozgások függetlenségének elve alapján a mozgás leírható mind nyugvó, mind a lejtő mentén $v_{0}$ sebességgel mozgó koordináta-rendszerben. Legyen a mozgó koordináta-rendszerünk origója a lövedék kirepülési pontja, és a lövedék vízszintessel bezárt kirepülési szöge $φ$ (1. ábra).

1. ábra

Ekkor a kocsi

t

idő alatt (a kilövéstől mérve) a lejtő mentén

s = g \cdot sin α \cdot t^{2} / 2

utat tesz meg. Ennek vízszintes

(x)

és függőleges, lefelé irányuló

(y)

összetevője

\begin{matrix} x & = (g / 2) \cdot sin α \cdot t^{2} \cdot cos α, \\ y & = (g / 2) \cdot sin α \cdot t^{2} \cdot sin α, \end{matrix}

A lövedék mozgása ferde hajítás, útösszetevői

t

idő múlva

\begin{matrix} x & = v \cdot cos φ \cdot t, \\ y & = - v \cdot sin φ \cdot t + g \cdot t^{2} / 2. \end{matrix}

A találkozás feltétele az

x

és

y

koordináták egyenlősége.
A két egyenletből

tg α = ctg φ

, vagyis

α

és

φ

pótszögek. Ez azt jelenti, hogy a lövedéket a lejtőre merőlegesen kell kilőni, függetlenül a lövedék relatív kezdősebességétől.

t = 2 v \cdot cos φ / (g \cdot sin α cos α) = 2 v / (g \cdot cos α)

, mert

cos φ = sin α

t = 7, 06

s a kilövéstől és

T = 9, 06

s a kocsi indulásától számítva.
Ezalatt a kocsi

s = a \cdot T^{2} / 2 = 201, 4

m utat tesz meg.

Szörényi András (Pécs, Széchenyi I. g. II. o. t.)

II. megoldás. Forgassuk el a koordináta-rendszert úgy, hogy az

x

-tengely nézzen a lejtő irányába és az

y

-tengely a lejtőre merőlegesen kifelé. Rögzítsük is a lejtőhöz.
A kocsi koordinátái (ha a kocsi az időmérés kezdetén

0

pontban volt)

T

idő után

\begin{matrix} x = v_{0} T + g \cdot sin α \cdot T^{2} / 2, y = 0. \end{matrix}

A lövedék koordinátái

\begin{matrix} x & = [v \cdot cos (α + φ) + v_{0}] \cdot T + g \cdot sin α \cdot T^{2} / 2, \\ y & = [v \cdot sin (α + φ)] \cdot T - g \cdot cos α \cdot T^{2} / 2. \end{matrix}

A találkozás feltétele a megfelelő koordináták egyenlősége.
A két egyenletből következik

\begin{matrix} cos (α + φ) = 0, α + φ = 90^{\circ}, T = 2 v / (g \cdot cos α) . \end{matrix}

Maróti Péter (Szeged, Ságvári E. g. II. o. t)

III. megoldás. Írjuk le a jelenséget egy

v_{0}

lejtőirányú sebességgel bíró és ugyanakkor szabadon eső koordináta-rendszerben (2. ábra).

2. ábra

Ekkor a lövedék

v

egyenletes sebességgel a vízszintessel

φ

szöget bezáró egyenesen fog mozogni. A kocsira a nyugvó koordináta-rendszerben a függőleges súlyerő és a lejtőre merőleges kényszererő hatott. Ebben a rendszerben a függőleges erő és gyorsulás megszűnik, ezért a kocsi egyenesvonalú

g \cdot cos α

gyorsulással egyenletesen gyorsuló mozgást végez a lejtő irányára merőlegesen. A lövedék és a kocsi tehát csak akkor találkozhat, ha pályáik egybe esnek. Tehát a golyót a lejtőre merőlegesen kell kilőni. A találkozás ideje a

v \cdot t = (g / 2) \cdot cos α \cdot t^{2}

összefüggésből kapható és megegyezik a fentiekkel.

Tél Tamás (Budapest, Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t)

Megjegyzés. Ha a lejtő és a kocsi között súrlódás van

(μ)

, a fenti koordináta-rendszerben nézve a kocsira a lejtőre merőleges kényszererőn kívül a lejtőirányú súrlódási erő is hat, ezért elmozdulása a két erő eredőjének irányába esik. Ebben az irányban kell a golyót is kilőni. A hátracélzás

ε

szögére

\begin{matrix} tg ε = μ \cdot g \cdot cos α / g \cdot cos α = μ . \end{matrix}

Maróti Péter (Szeged, Ságvári E. g. II. o. t)

IV. megoldás. Felhasználhatjuk a 675. feladatban bizonyított összefüggést: egy függőleges síkú kör legfelső pontjából az innen húzott húrokon mint lejtőkön súrlódás nélkül csúszó testek ugyanannyi idő alatt érik el ismét a kör kerületét. Ez az idő pedig egyenlő a függőleges átmérőn való szabadesés idejével. Ha a rendszert

v_{0}

lejtőirányú sebességgel mozgó koordináta-rendszerbe helyezzük, akkor a kocsi a vízszintessel

α

szöget bezáró húron mozog, a lövedék egyrészt szabadon esik, másrészt

v

sebességű egyenletes mozgást végez (3. ábra).

3. ábra

A két útösszetevő összegének

t

idő múlva ugyanott kell metszenie a kört, ahol a kocsi útvektorának. Thales tételéből következik, hogy merőlegesen kell a golyót kilőni, a találkozás idejét a Pythagorastételből számíthatjuk.

Szörényi András (Pécs, Széchenyi I. g. II. o. t.)

V. megoldás. Írjuk le a jelenséget a kocsival együtt mozgó koordináta-rendszerben. Ebben a rendszerben a gravitáción kívül

m \cdot a

tehetetlenségi erő is hat a lejtő irányában felfelé. A golyót nyilván a két erő eredőjének hatásvonalával párhuzamosan kell kilőni, hogy visszajusson az origóban nyugalomban levő kocsihoz.

a = g \cdot sin α

, ezért

F

merőleges a lejtőre. A feladatot egy ,,függőleges'' hajításra egyszerűsítettük.

Szörényi András (Pécs, Széchenyi I. g. II. o. t.)