Feladat: 689. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Battha László ,  Berkes Zoltán ,  Ferenczi János 
Füzet: 1968/február, 88 - 90. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Sikkondenzátor, Kondenzátorok párhuzamos kapcsolása, Egyéb változó áram, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1967/április: 689. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vezessük be a következő jelöléseket! A kondenzátorok kapacitása C1=1 pF és C2=1,5 pF, a lemezek távolsága a kezdő pillanatban d1=20 cm és d2=20 cm. A kondenzátorokban levő össztöltés Q=0,1 C. A lemezek távolodási sebessége v1 és v2 (közeledés esetén v negatív szám).
Határozzuk meg t időpillanatban az egyes kondenzátorokon levő töltést ! A párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok feszültsége:

U(t)=Q1(t)C1(t)=Q2(t)C2(t).

Az elektromos töltés megmaradása miatt az össztöltés mindvégig
Q=Q1(t)+Q2(t).

Mivel a síkkondenzátor kapacitása C=kFd alakban írható (F a lemezek felszíne), ezért
C1(t)=C1d1d1+v1tésC2(t)=C2d2d2+v2t,

Az egyenletrendszert megoldva:
Q1(t)=QC1d1d1+v1tC1d1d1+v1t+C2d2d2+v2tésQ2(t)=QC2d2d2+v2tC1d1d1+v1t+C2d2d2+v2t.

A kérdés az, hogy milyen erősségű áramnak kellett az egyes pillanatokban folynia ahhoz, hogy a t pillanatban a C1 kondenzátoron Q1(t) töltés legyen. Erre a kérdésre a felelet megadása kb. olyan nehéz, mint változó sebességű mozgás esetén a pillanatnyi sebességnek az út-idő függvényből való meghatározása. Sőt ez a hasonlóság olyan szoros, hogy itt is lényegében ugyanazt a módszert alkalmazhatjuk. Először a pillanatnyi áramerősség helyett azt határozzuk meg, hogy a t és t+Δt időpillanatok között milyen I(t)¯ átlag áram növelte volna a t pillanatbeli Q1(t) töltést a t+Δt pillanatbeli Q1(t+Δt)-re. Mivel az áramerősség az időegységnyi idő alatt szállított töltés mennyisége, ezért Δt idő alatt:
ΔQ=Q1(t+Δt)-Q1(t)=I(t¯Δt;
ebből
I(t)¯=ΔQΔt=(Q1+C2d2C1d1d1+v1(t+Δt)d2+v2(t+Δt)-Q1+C2d2C1d1d1+v1td2+v2t)1Δt.
Behelyettesítve a numerikus értékeket:
a) Ha a C1 kondenzátor lemezeit közelítjük, ekkor v1=-10 cm/s és v2=+10 cm/s.
I(t)¯=2,4(10-t)(10-t-Δt)A.
 

 

1. ábra
 

Az 1. ábrán látható, hogy Δt=0,5 s esetén az egyes intervallumokban milyen átlag áramerősségeket kapunk. A pillanatnyi áramerősségeket azonban ez a lépcsős görbe nem adja meg helyesen, de ha kisebb Δt értéket veszünk, akkor a vizsgált idő alatt kisebb lesz az áramerősség megváltozása, ezért az átlagérték közelebb lesz a pillanatnyi értékhez. Határesetben Δt=0, az ekkor kapott értéket tekinthetjük a pillanatnyi áramerősségnek:
I(t)=2,4(10-t)2A.

b) Ha a C2 lemezei közelednek: v1=+10 cm/s és v2=-10 cm/s. Ekkor a t és t+Δt között az átlagos áram:
I(t)¯=-2,4(10+t)(10+t+Δt)A.
 

 

2. ábra
 

A pillanatnyi áram (2. ábra):
I(t)=-2,4(10+t)2A.

A ,,-'' előjel mutatja, hogy ekkor a töltések C1-ből a C2-be áramlanak.
Battha László (Bp., Eötvös J. g. IV. o. t.)
 

Megjegyzés. A feladat nem reális. A fenti adatok mellett megvalósítása lehetetlen. 1 pF kapacitás 0,1 C töltés esetén 1011 volt feszültséget jelent, továbbá a tér sem lehet homogén. Erre egyik megoldó sem mutatott rá.