Kezdőlap


Feladat:	684. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Breuer Pál , Böszörményi László Gusztáv , Dalnoki Jenő , Fuggerth Endre , Kecskeméty Károly , Maróti Péter , Sághy András , Spitzer József , Szörényi András
Füzet:	1967/december, 239 - 240. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenesvonalú mozgás lejtőn, Egyenletesen változó mozgás (Tömegpont mozgásegyenelete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1967/április: 684. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A $φ$ hajlásszögű lejtőn a tömegpont gyorsulása $a = g sin φ$ , az $α$ hajlásszögű lejtő eléréséig megtett út pedig $s = d / sin (α + φ)$ . Az ehhez szükséges idő $t = \sqrt[]{2 s / a} = \sqrt[]{2 d / g \cdot sin (α + φ) sin φ}$ .
Az idő akkor minimális, ha a nevezőben levő trigonometrikus kifejezés a legnagyobb értéket veszi fel. Egyszerű átalakításokkal a

\begin{matrix} sin (α + φ) sin φ = (1 / 2) cos [(α + φ) - φ] - (1 / 2) cos [(α + φ) + φ] = \\ = \frac{cos α}{2} - \frac{cos (α + 2 φ)}{2} \end{matrix}

kifejezést kapjuk, ami maximumát az

α + 2 φ = (2 k + 1) π

, azaz

φ = (π / 2 - α / 2) + k π

helyeken veszi fel.
Tehát a második lejtő hajlásszöge

90^{\circ} - α / 2

, úgy, hogy az adott pontból az alsó lejtő magasabb vége felé irányuljon.

Dalnoki Jenő (Pécs, Leöwey Klára g. II. o. t.)

II. megoldás. Használjuk fel a 675. feladat állítását, ami szerint egy függőleges síkú kör legfelső pontjából húzott húrokon mint lejtőkön a kezdősebesség nélkül induló, súrlódásmentesen lecsúszó tömegpontok egyszerre érik el a kör kerületét. A lecsúszási idő

2 \sqrt[]{R / g}

. Azt a minimális sugarú kört, amely az adott lejtőt még éppen eléri, egyszerű elemi geometriai szerkesztéssel kapjuk meg, ahonnan a keresett lejtő hajlásszöge

90^{\circ} - α / 2

Böszörményi László Gusztáv (Debrecen, Tóth Árpád g. II. o. t.)